Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，連接BF．
（1）求證：四邊形AFBD是平行四邊形；
（2）要使四邊形AFBD是菱形，△ABC應滿足什么條件？并證明你的結論．

Answer 1

考點：菱形的判定,平行四邊形的判定

專題：

分析：（1）求出AE=DE，∠AFE=∠DCE，證△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根據平行四邊形的判定推出即可
（2）當∠BAC=90°時，四邊形AFBD是菱形，求出AD=BD即可．

解答：（1）證明：∵E為AD中點，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△CED中，

∠AFE=∠DCE ∠AEF=∠DEC AE=DE

，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=DC，
∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四邊形AFBD是平行四邊形．

（2）當∠BAC=90°時，四邊形AFBD是菱形，
證明：∵∠BAC=90°，D為BC中點，
∴AD=BD，
∵四邊形AFBD是平行四邊形，
∴四邊形AFBD是菱形．

點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．