【題目】如圖,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(9,0),以AB為直徑作⊙O′,交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,連接AC、BC,過A、B、C三點(diǎn)作拋物線.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn),∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D,求點(diǎn)D的坐標(biāo);并直接寫出直線BC、直線BD的解析式;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠PDB=∠CBD,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:∵以AB為直徑作⊙O′,交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,

∴∠OCA+∠OCB=90°,

又∵∠OCB+∠OBC=90°,

∴∠OCA=∠OBC,

又∵∠AOC=∠COB=90°,

∴△AOC∽△COB,

又∵A(﹣1,0),B(9,0),

,

解得OC=3(負(fù)值舍去).

∴C(0,﹣3),

故設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣9),

∴﹣3=a(0+1)(0﹣9),解得a= ,

∴二次函數(shù)的解析式為y= (x+1)(x﹣9),

即y= x2 x﹣3


(2)解:∵AB為O′的直徑,且A(﹣1,0),B(9,0),

∴OO′=4,O′(4,0),

∵點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn),∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D,

∴∠BCD= ∠BCE= ×90°=45°,

連接O′D交BC于點(diǎn)M,

則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°,OO′=4,O′D= AB=5.

∴O′D⊥x軸

∴D(4,﹣5).

∴設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,

,

解得

∴直線BD的解析式為y=x﹣9.

∵C(0,﹣3),

設(shè)直線BC的解析式為:y=ax+b,

,

解得:

∴直線BC的解析式為:y= x﹣3


(3).解:假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)P,使得∠PDB=∠CBD,

解法一:設(shè)射線DP交⊙O′于點(diǎn)Q,則 =

分兩種情況(如圖所示):

①∵O′(4,0),D(4,﹣5),B(9,0),C(0,﹣3).

∴把點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,則點(diǎn)C與點(diǎn)Q1重合,

因此,點(diǎn)Q1(7,﹣4)符合 = ,

∵D(4,﹣5),Q1(7,﹣4),

∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ1解析式為y= x﹣

解方程組

∴點(diǎn)P1坐標(biāo)為( , ),坐標(biāo)為( )不符合題意,舍去.

②∵Q1(7,﹣4),

∴點(diǎn)Q1關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q2(7,4)也符合 =

∵D(4,﹣5),Q2(7,4).

∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ2解析式為y=3x﹣17.

解方程組

,

∴點(diǎn)P2坐標(biāo)為(14,25),坐標(biāo)為(3,﹣8)不符合題意,舍去.

∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè):P1 , ),P2(14,25).

解法二:分兩種情況(如圖所示):

①當(dāng)DP1∥CB時(shí),能使∠PDB=∠CBD.

∵B(9,0),C(0,﹣3).

∴用待定系數(shù)法可求出直線BC解析式為y= x﹣3.

又∵DP1∥CB,

∴設(shè)直線DP1的解析式為y= x+n.

把D(4,﹣5)代入可求n=﹣ ,

∴直線DP1解析式為y= x﹣

解方程組

∴點(diǎn)P1坐標(biāo)為( )或( , )(不符合題意舍去).

②在線段O′B上取一點(diǎn)N,使BN=DM時(shí),得△NBD≌△MDB(SAS),

∴∠NDB=∠CBD.

由①知,直線BC解析式為y= x﹣3.

取x=4,得y=﹣

∴M(4,﹣ ),

∴O′N=O′M=

∴N( ,0),

又∵D(4,﹣5),

∴直線DN解析式為y=3x﹣17.

解方程組

∴點(diǎn)P2坐標(biāo)為(14,25),坐標(biāo)為(3,﹣8)不符合題意,舍去.

∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè):P1 , ),P2(14,25).

解法三:分兩種情況(如圖所示):

①求點(diǎn)P1坐標(biāo)同解法二.

②過C點(diǎn)作BD的平行線,交圓O′于G,

此時(shí),∠GDB=∠GCB=∠CBD.

由(2)題知直線BD的解析式為y=x﹣9,

又∵C(0,﹣3)

∴可求得CG的解析式為y=x﹣3,

設(shè)G(m,m﹣3),作GH⊥x軸交于x軸與H,

連接O′G,在Rt△O′GH中,利用勾股定理可得,m=7,

由D(4,﹣5)與G(7,4)可得,

DG的解析式為y=3x﹣17,

解方程組

,

∴點(diǎn)P2坐標(biāo)為(14,25),坐標(biāo)為(3,﹣8)不符合題意舍去.

∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè):P1 , ),P2(14,25).


【解析】(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,及同角的余角相等可以得出∠OCA=∠OBC ,又∠AOC=∠COB=90°,從而判斷出△AOC∽△COB,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出:OA∶OC=OC∶OB ;已知了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出OA、OB的長,因此求出OC的長,即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo).然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)根據(jù)AB為O′的直徑,且A(﹣1,0),B(9,0),從而得出OO′=4,O′(4,0),根據(jù)角平分線的定義得出∠BCD的度數(shù) ;如果連接O′D,那么根據(jù)圓周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐標(biāo)為(4,-5).根據(jù)B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式;根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式 ;
(3)本題要分兩種情況進(jìn)行討論:
解法一:設(shè)射線DP交⊙O′于點(diǎn)Q,則 弧BQ=弧CD.

①根據(jù)O′(4,0),D(4,﹣5),B(9,0),C(0,﹣3).

故把點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,則點(diǎn)C與點(diǎn)Q1重合,從而得出點(diǎn)Q1(7,﹣4)符合弧BQ與弧CD相等,根據(jù)D,Q1的坐標(biāo)用待定系數(shù)法去除直線DQ1的解析式,然后解直線DQ1與拋物線的解析式聯(lián)立的方程組求出P1點(diǎn)的坐標(biāo),然后判定是否符合題意;
②由于Q1(7,﹣4),故點(diǎn)Q1關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q2(7,4)也符合弧BQ與弧CD相等,根據(jù)D,Q2的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線DQ2的解析式,然后解直線DQ2與拋物線的解析式聯(lián)立的方程組求出P2點(diǎn)的坐標(biāo),然后判定是否符合題意 ;
解法二:
①當(dāng)DP1∥CB時(shí),能使∠PDB=∠CBD.由于B(9,0),C(0,﹣3).故用待定系數(shù)法可求出直線BC解析式 ;又DP1∥CB,及D(4,﹣5)求出直線DP1解析式為 ;然后解直線DP1與拋物線的解析式聯(lián)立的方程組求出P1點(diǎn)的坐標(biāo),然后判定是否符合題意 ;
②在線段O′B上取一點(diǎn)N,使BN=DM時(shí),得△NBD≌△MDB(SAS),∠NDB=∠CBD.根據(jù)直線BC的解析式,得出M的坐標(biāo),進(jìn)而得出N點(diǎn)的坐標(biāo),從而得出直線DN的解析式,解直線DN的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立的方程組求出P2點(diǎn)的坐標(biāo),然后判定是否符合題意 ;
解法三 :

①求點(diǎn)P1坐標(biāo)同解法二.

②過C點(diǎn)作BD的平行線,交圓O′于G,此時(shí),∠GDB=∠GCB=∠CBD.由(2)題知直線BD的解析式為y=x﹣9,又C(0,﹣3)故可求得CG的解析式為,

設(shè)G(m,m﹣3),作GH⊥x軸交于x軸與H,連接O′G,在Rt△O′GH中,利用勾股定理可得,m=7,由D(4,﹣5)與G(7,4)可得,DG的解析式;解直線DG的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立的方程組求出P2點(diǎn)的坐標(biāo),然后判定是否符合題意 。

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2)如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在CD延長線上時(shí),∠BMP=___(用α表示);

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(1)甲乙兩個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天?

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(2)如圖2,將圖1中的△ABC沿BC翻折,其他條件不變,那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)你給出證明,若不成立,請(qǐng)?zhí)剿魉鼈兊臄?shù)量關(guān)系,并說明理由.

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