Question

如圖，已知二次函數(shù)y=（1-m）x²+4x-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），求二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以P、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令拋物線的解析式中x=0，即可得出C的坐標(biāo)．
（2）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中進(jìn)行求解即可．
（3）可先根據(jù)（2）的拋物線求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得OB的長．所求的兩三角形中，已知了∠POB=∠AOC=90°，因此只需根據(jù)兩組直角邊對應(yīng)成比例求出OP的長即可．（由于兩相似三角形的對應(yīng)邊不確定，要分類進(jìn)行求解，方法一致．）
解答：解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）．

（2）∵二次函數(shù)過點(diǎn)A（1，0），得m=2，
即所求二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x-3．

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（如圖所示），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），
當(dāng)y=-x²+4x-3=0時，有x₁=1，x₂=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
即OP=|y|，OA=1，OB=3，OC=3．
①當(dāng)△POB∽△AOC時，y=±1；
②當(dāng)△BOP∽△AOC時，y=±9；
③當(dāng)BP∥AC時，△BOP∽△AOC，這時|y|=9．
∵這時的y＜0，
∴y=-9，與②中的第二個解相同．
綜上可知，在y軸上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，
這樣的點(diǎn)有四個，分別是P₁（0，-1）、P₂（0，1）、P₃（0，-9）、P₄（0，9）．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定即相似三角形的判定和性質(zhì)．要注意（3）題在不確定相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的情況下要分類討論，不要漏解．