Question

△ABC中，AB=AC，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，E為△ABC外一點(diǎn)，連接DE、AE和BE，AD=DE，BE∥AC．
（1）如圖1，求證：∠BED=∠DAB．
（2）如圖2，當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，作DF⊥AC于F，連接BF交DE于點(diǎn)H，作AK⊥BF分別交BF、DF于點(diǎn)G、K，AF=4DK，試探究線段DH和AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過點(diǎn)D作DN⊥EB于N，根據(jù)AB=AC，得出∠1=∠C，再根據(jù)AC∥BE，得出∠2=∠C，從而得出∠2=∠1，即DM=DN，在Rt△ADM和Rt△EDN中，根據(jù)HL得出△ADM≌△EDN，即可得出∠BED=∠DAB；
（2）根據(jù)AB=AC，BD=DC，得出AD⊥BC，根據(jù)AA得出△ADK∽△BCF，從而得出tan∠ACB=

DF

CF

=

AD

DC

=

AD

1 2 BC

，即可得出K為DF中點(diǎn)，延長ED交AC延長線于P，作DO∥FC交BF于O，設(shè)DK=a，得出AF、DF、AD的值，再根據(jù)∠FDC=∠DAF，得出FC=a，再根據(jù)AAS得出△EBD≌△PCD，從而得出DE=AD=DP，再根據(jù)DF⊥AC，得出AF=FP，AD=DP，AE=2DF，CP的值，最后根據(jù)DO∥FC，得出

PF

DO

=

HP

DH

=

DH+2 5 a

DH

，求出DH的值即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過點(diǎn)D作DN⊥EB于N，
∵AB=AC，
∴∠1=∠C，
∵AC∥BE，
∴∠2=∠C，
∴∠2=∠1，
∴DM=DN，
在Rt△ADM和Rt△EDN中，

AD=DE MD=DN

，
∴△ADM≌△EDN，
∴∠BED=∠DAB；

（2）DH=

5

14

AE；
證明：
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∵∠AGB=∠ADB=90°，∠3=∠4，
∴∠KAD=∠FBC，
∵∠ACB+∠FDC=90°，∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠ACB=∠ADF，
∴△ADK∽△BCF，
∴

DK

CF

=

AD

BC

，
∵tan∠ACB=

DF

CF

=

AD

DC

=

AD

1 2 BC

，
∴DK=

1

2

DF，
∴K為DF中點(diǎn)，
延長ED交AC延長線于P，作DO∥FC交BF于O，設(shè)DK=a，
∴AF=4a，DF=2a，AD=2

5

a，
∵∠FDC=∠DAF，
∴

FC

DF

=

DF

AF

，
∴FC=a，
∵DO∥FC，
∴DQ=

1

2

CF=

1

2

a，
∵

BD=DC ∠BED=∠P ∠EDB=∠CDP

，
∴△EBD≌△PCD，
∴DE=AD=DP，
∵DF⊥AC，
∴AF=FP=4a，AD=DP=2

5

a，AE=2DF=4a，CP=3a，
∵DO∥FC，
∴

PF

DO

=

HP

DH

=

DH+2 5 a

DH

，
∴DH=

2 5

7

a，
∴DH=

5

14

AE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答．