Question

已知：如圖，點E是四邊形ABCD的對角線BD上一點，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）求證：△ABE∽△ACD；
（2）求證：BC•AD=DE•AC．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）求出B、A、D、C四點共圓，推出∠ABE=∠ACD，求出∠BAE=∠DAC，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出

AB

AC

=

AE

AD

，根據(jù)∠BAC=∠DAE推出△ABC∽△AED，得出比例式，代入求出即可．

解答：證明：（1）∵∠BAC=∠BDC，
∴B、A、D、C四點共圓，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△ABE∽△ACD；

（2）∵△ABE∽△ACD，
∴

AB

AC

=

AE

AD

，
∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED，
∴

BC

DE

=

AC

AD

，
∴BC•AD=DE•AC．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用相似三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理的能力．