Question

如圖，點O₂是⊙O₁上一點，⊙O₂與⊙O₁相交于A、D兩點，BC⊥AD于D，分別交⊙O₁、⊙O₂于B、C兩點，延長DO₂交⊙O₂于E，交BA的延長線于F，BO₂交AD于G，連AC．
①求證：∠BGD=∠C；
②若∠DO₂C=45°，求證：AD=AF；
③若AF=6CD，AD=

95

5

，求DG的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：計算題

分析：①由BC⊥AD得∠BGD+∠GBD=90°，再根據(jù)圓周角定理由AC為⊙O₂直徑得∠ADC=90°，則∠DAC+∠C=90°，由同弧所對的圓周角相等得∠GBD=∠DAC，然后利用等量代換即可得到∠BGD=∠C；
②由∠DO₂C=45°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ABD=45°，則∠BAD=∠ABD=45°，由O₂A=O₂D得弧O₂A=弧O₂D，則∠ABO₂=∠DBO₂=22.5°，再根據(jù)圓周角定理得∠ADF=∠ABO₂=22.5°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計算出∠F=22.5°，于是得到∠F=∠ADF，則根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF；
③連結AE，設DC=x，BD=a，則AF=6x，AE=DC=x，根據(jù)圓周角定理由∠ADB=90°得到AB為⊙O₁的直徑，所以∠AO₂B=90°，而O₂A=O₂C，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到BA=BC=a+x，再證明AE∥BD得到△AEF∽△BDF，根據(jù)相似比可計算出x=

5

7

a，則AB=a+x=

12a

7

；在Rt△ABD中，利用勾股定理得到a²+（

95

5

）²=（

12

7

a）²，解得a=

7

5

，所以x=1，然后再證明△BDG∽△ADC，再利用相似比可計算出DG．

解答：①證明：∵BC⊥AD于D，
∴∠BGD+∠GBD=90°，
又∵AC為⊙O₂直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠GBD=∠DAC，
∴∠BGD=∠C；
②證明：∵∠DO₂C=45°，
∴∠ABD=∠DO₂C=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∵O₂A=O₂D，
∴弧O₂A=弧O₂D，
∴∠ABO₂=∠DBO₂=22.5°，
∴∠ADF=∠ABO₂=22.5°，
∵∠BAD=∠F+∠ADF，
∴∠F=∠BAD-∠ADF=22.5°，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF；
③解：連結AE，
設DC=x，BD=a，則AF=6x，AE=DC=x，
∵∠ADB=90°，
∴AB為⊙O₁的直徑，
∴∠AO₂B=90°，
而O₂A=O₂C，
∴BA=BC=a+x，
∵DE為⊙O₂的直徑，
∴∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠ADB，
∴AE∥BD，
∴△AEF∽△BDF，
∴

AE

BD

=

AF

BF

，即

x

a

=

6x

6x+a+x

，
∴x=

5

7

a，
∴AB=a+x=

12a

7

在Rt△ABD中，
∵BD²+AD²=AB²，
∴a²+（

95

5

）²=（

12

7

a）²，解得a=

7

5

，
∴x=

5

7

×

7

5

=1，
∵∠BDG=∠DAC，
∴△BDG∽△ADC，
∴

BD

AD

=

DG

DC

，即

7 5

95 5

=

DG

1

，
∴DG=

7 95

95

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)；會利用相似比和勾股定理進行幾何計算．