Question

如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接BE、DG．

（1）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：BE=DG；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，連接FC，直接寫出∠FCD的度數(shù)；

（3）如圖3，如果α=45°，AB=2，AE=，求點(diǎn)G到BE的距離．

Answer 1

              （1）證明：如圖2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，

又∵四邊形AEFG是正方形，

∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，

∴∠BAE=∠DAG．

∴在△ABE與△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴BE=DG；

（2）解：①如圖3，連接AC，AF，CF，

∵四邊形ABCD與AEFG是正方形，

∴∠ACD=∠AFE=45°，

∵∠DCE=90°

∴點(diǎn)A，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，

∵∠AEF是直角，

∴AF是直徑，

∴∠ACF=90°，

∵∠ACD=45°，

∴∠FCD=45°

②如圖4，連接AC，AF，F(xiàn)G，CG

由（1）知∵△ABE≌△ADG，

∴∠ABE=∠ADG=90°，

∴DG和CG在同一條直線上，

∴∠AGD=∠AGC=∠BAG，

∵四邊形ABCD與AEFG是正方形，

∴∠BAC=∠BAE=45°，

∴∠BAG+∠GAC=45°，∠BAG+∠BAF=45°，

∴∠AGD+∠GAC=45°，

∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°，

∴點(diǎn)A，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，

∵∠AGF是直角，

∴AF是直徑，

∴∠ACF=90°，

∴∠FCD=90°+45°=135°．

（3）解：如圖5，連接GB、GE，

由已知α=45°，可知∠BAE=45°．

又∵GE為正方形AEFG的對角線，

∴∠AEG=45°．

∴AB∥GE．

∵，AB與GE間的距離相等，

∴GE=8，．

過點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H，

∵AB=2，

∴．

∴．

∴．

設(shè)點(diǎn)G到BE的距離為h．

∴．

∴．

即點(diǎn)G到BE的距離為．