Question

【題目】閱讀新知：移項且合并同類項之后，只含有偶次項的四次方程稱作雙二次方程．其一般形式為ax4+bx2+c=0（a≠0），一般通過換元法解之，具體解法是設 x2=y，則原四次方程化為一元二次方程：ay2+by+c=0，解出y之后代入x2=y，從而求出x的值．例如解：4x4﹣8y2+3=0
解：設x2=y，則原方程可化為：4y2﹣8y+3=0
∵a=4，b=﹣8，c=3
∴b2﹣4ac=﹣（﹣8）2﹣4×4×3=16＞0
∴y= =
∴y1= ，
∴y2=
∴當y1= 時，x2=
∴x1= ，x2=﹣ ；當y1= 時，x2=
∴x3= ，x4=﹣
小試牛刀：請你解雙二次方程：x4﹣2x2﹣8=0
歸納提高：思考以上解題方法，試判斷雙二次方程的根的情況，下列說法正確的是（選出所有的正確答案）
①當b2﹣4ac≥0時，原方程一定有實數(shù)根；②當b2﹣4ac＜0時，原方程一定沒有實數(shù)根；③當b2﹣4ac≥0，并且換元之后的一元二次方程有兩個正實數(shù)根時，原方程有4個實數(shù)根，換元之后的一元二次方程有一個正實數(shù)根一個負實數(shù)根時，原方程有2個實數(shù)根；④原方程無實數(shù)根時，一定有b2﹣4ac＜0．

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：x4﹣2x2﹣8=0
設y=x2 ， 則原方程變?yōu)椋簓2﹣2y﹣8=0．
分解因式，得（y+2）（y﹣4）=0，
解得，y1=﹣2，y2=4，
當y=﹣2時，x2=﹣2，x2+2=0，△=0﹣4×2＜0，此方程無實數(shù)解；
當y=4時，x2=4，解得x1=﹣2，x2=2，
所以原方程的解為x1=﹣2，x2=2．
根據(jù)閱讀新知和小試牛刀即可判斷①②③④；
故答案為①②③④．
先設y=x2 ， 則原方程變形為y2﹣2y﹣8=0，運用因式分解法解得y1=﹣2，y2=4，再把y=﹣2和4分別代入y=x2得到關(guān)于x的一元二次方程，然后解兩個一元二次方程，最后確定原方程的解．
根據(jù)閱讀新知和小試牛刀即可判斷①②③④．