Question

閱讀并完成以下問題：
已知，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于點(diǎn)E、F．當(dāng)AB=AC，易證△BEO與△CFO為等腰三角形，則有EF=BE+CF．（如圖1）
①當(dāng)AB≠AC，其他條件不變，如圖（2），則EF=BE+CF還成立嗎？答：

 

．
②當(dāng)AB≠AC時(shí)，作∠ABC的平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖（3），這時(shí)EF與BE、CF間的關(guān)系又如何呢？請寫出并證明你的結(jié)論？
③當(dāng)AB≠AC時(shí)，作∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線或延長線交于O，過O點(diǎn)作BC的平行線，交AB延長線于E，交AC的延長線于F．請根據(jù)以上的要求畫出圖形，并直接寫出這時(shí)EF與BE、CF間的關(guān)系？

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì)

專題：

分析：①根據(jù)角平分線的定義可得∠CBO=∠ABO，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BOE=∠CBO，等量代換可得∠ABO=∠BOE，根據(jù)等角對等邊可得BE=OE，同理可得CF=OF，然后根據(jù)EF=EO+OF等量代換即可得證；
②根據(jù)角平分線的定義可得∠CBO=∠ABO，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BOE=∠CBO，等量代換可得∠ABO=∠BOE，根據(jù)等角對等邊可得BE=OE，同理可得CF=OF，然后根據(jù)EF=EO-OF等量代換即可得證；
③作出圖形，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠CBO=∠EBO，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BOE=∠CBO，等量代換可得∠EBO=∠BOE，根據(jù)等角對等邊可得BE=OE，同理可得CF=OF，然后根據(jù)EF=EO+OF等量代換即可得證．

解答：解：①∵OB平分∠ABC，
∴∠CBO=∠ABO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE=∠CBO，
∴∠ABO=∠BOE，
∴BE=OE，
同理可得CF=OF，
∵EF=EO+OF，
∴EF=BE+CF；
故答案為：成立；

②∵OB平分∠ABC，
∴∠CBO=∠ABO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE=∠CBO，
∴∠ABO=∠BOE，
∴BE=OE，
同理可得CF=OF，
∵EF=EO-OF，
∴EF=BE-CF；

③如圖，∵OB平分∠ABC的外角，
∴∠CBO=∠EBO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE=∠CBO，
∴∠EBO=∠BOE，
∴BE=OE，
同理可得CF=OF，
∵EF=EO+OF，
∴EF=BE+CF．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，此類題目，要注意前后小題的思路往往都是相同的．