Question

20、兩條直線上各有n個(gè)點(diǎn)，用這n對(duì)點(diǎn)按如下規(guī)則連接線段：
①同直線上的點(diǎn)不連接；
②連接的任意兩條線段可以有共同的端點(diǎn)，但不得有其它的端點(diǎn)；
（1）畫圖說明當(dāng)n=1、2、3時(shí)，連接的線段最多各有多少條？
（2）由（1）猜想n（n為正整數(shù)）對(duì)點(diǎn)之間連接的線段最多有多少條，證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)n=2003時(shí)，所連接的線段最多有多少條？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，作圖可得答案；
（2）分析可得，當(dāng)n=1時(shí)的情況，此時(shí)圖中線段最多的條數(shù)為1；當(dāng)n=2時(shí)的一種情況，此時(shí)圖中線段最多的條數(shù)為3；…故當(dāng)有n對(duì)點(diǎn)時(shí)，設(shè)這n對(duì)點(diǎn)之間連接的直線段最多有P_n條，有P_n+1≥P_n+2．設(shè)對(duì)于n+1對(duì)點(diǎn)有另一種連法，有P_n+1-2≤P_n．由此，我們得到P_n+1=P_n+2，而P₁=1，P₂=3，所以P_n=1+2×（n-1）=2n-1．
（3）當(dāng)n=2003時(shí)，代入（2）的結(jié)論即可求出所連接的線段最多的條數(shù)．

解答：解：（1）如圖可以看出，n=1時(shí)，最多可以連接1條線段，n=2時(shí)，最多可以連接3條線段，n=3時(shí)，最多可以連接5條線段．

（2）猜想：對(duì)于正整數(shù)n，這n對(duì)點(diǎn)之間連接的直線段最多有2n-1條．
證明：將直線標(biāo)記為l₁，l₂，它們上面的點(diǎn)從左到右排列為A₁，A₂A₃，┉，A_n和B₁，B₂，B₃，┉，B_n，設(shè)這n對(duì)點(diǎn)之間連接的直線段最多有P_n條，顯然，其中必有A_nB_n這一條，否則，P_n就不是最多的數(shù)．
當(dāng)在l₁，l₂分別加上笫n+1個(gè)點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)在A_n與B_n的右側(cè)，那么除了原來已經(jīng)有的P_n條直線段外，還可以連接A_n+1B_n，A_n+1B_n+1這兩條線段，或連接A_nB_n+1，A_n+1B_n+1，這兩條線段．
所以P_n+1≥P_n+2．
另一方面，設(shè)對(duì)于n+1對(duì)點(diǎn)有另一種連法：
考慮如圖所示以A_n+1為端點(diǎn)的線段，若以A_n+1為端點(diǎn)的線段的條數(shù)大于1，則一定可以找到一個(gè)i≤n，使得對(duì)于任意的j＜i，A_n+1B_j都不在所畫的線段中，這時(shí)，B_i+1，B_i+2，┉，B_n+1只能與A_n+1連接，不妨設(shè)A_n+1B_i+1，A_n+1B_i+2，┉，A_n+1B_n+1都已連接，此時(shí)圖中的線段數(shù)為P_n+1，我們做如下操作：
去掉A_n+1B_i，連接A_nB_i+1，得到新的連接圖，而新的連接圖滿足要求且線段總數(shù)不變，將此操作一直續(xù)斷下去，直到與A_n+1連接的線段只有一條A_n+1B_n+1為止．最后圖中，與點(diǎn)B_n+1相關(guān)的線段只剩兩條，即A_nB_n+1，A_n+1B_n+1，去掉這兩條線段，則剩余P_n+2-2條線段，而圖形恰是n對(duì)點(diǎn)的連接圖，所以P_n+1-2≤P_n．
由此，我們得到P_n+1=P_n+2，而P₁=1，P₂=3，所以P_n=1+2×（n-1）=2n-1．

（3）當(dāng)n=2003時(shí)，P₂₀₀₃=4005（條）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面圖形的有規(guī)律變化，要求學(xué)生的通過觀察圖形，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題．