Question

已知等腰直角三角形ABC的腰長為4，半圓的直徑在△ABC的邊上，且半圓的弧與△ABC的其他兩邊相切，則半圓的半徑為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：有兩種情況：①是直徑在斜邊上，首先連接OD，由切線的性質(zhì)，易得OD⊥AB，即可得OD是△ABC的中位線，繼而求得OD的長．②是直徑在腰上，首先連接OD，由切線的性質(zhì)，易得OD⊥BC，即可根據(jù)勾股定理求得OD的長．

解答：解：①∵半圓的直徑在△ABC的斜邊上，且半圓的弧與△ABC的兩腰相切，切點(diǎn)為D、E，
如圖，連接OD，OA，
∵AB與⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O為BC的中點(diǎn)，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O為BC的中點(diǎn)，
∴OD=

1

2

AC=2．
②∵半圓的直徑在△ABC的腰上，且半圓的弧與△ABC的斜邊相切，切點(diǎn)為D，
如圖2，連接OD，設(shè)半圓的半徑為r，
∴OB=4-r，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，
∴∠B=45°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴OD=BD=r，
∴2r²=（4-r）²，解得r=-4+4

2

，r=-4-4

2

（舍去），
故答案為2或-4+4

2

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．