Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x，y軸上，且OA，OB的長（OA＞OB）是一元二次方程x²-7x+12=0的兩根．
（1）求點A，B的坐標及線段AB的長；
（2）過點B作BC⊥AB，交x軸于點C，求點C的坐標；
（3）在（2）的條件下，如果P，Q分別是線段AB和AC上的動點，連接PQ，設AP=CQ=x，問是否存在這樣的x，使得△APQ與△ABC相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）首先解方程，求得OA、OB的長度，即求得A、B的坐標，利用兩點間的距離公式來求線段AB的長度；
（2）利用相似三角形△AOB∽△BOC的對應邊成比例得到：

AO

BO

=

OB

OC

，把相關線段的長度代入求得OC=2.25，則易求點C的坐標；
（3）由于△APQ與△ABC已有一組公共角相等，只需分△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB兩種情況討論，然后運用相似三角形的性質建立關于x的方程，就可解決問題．

解答：解：（1）∵x²-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
∴x₁=3，x₂=4．
又OA，OB的長（OA＞OB）是一元二次方程x²-7x+12=0的兩根
∴點A的坐標為（-4，0），點B的坐標為（0，3）． 
∴AB=

AO2+BO2

=

42+32

=5；

（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，
∴∠BOC=∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BCO（同角的余角相等），
∴△AOB∽△BOC，
∴

AO

BO

=

OB

OC

，即

4

3

=

3

OC

，
∴OC=2.25，
則點C的坐標是（2.25，0）；

（3）當△APQ與∽△ABC時，PQ∥BC，
∴

AP

PB

=

AQ

QC

，
∵AP=CQ=x，
∴

x

5-x

=

6.25-x

x

，
解得x=

25

9

．
當△APQ與∽△ACB時，

AP

AC

=

AQ

AB

，
即

x

6.25

=

6.25-x

5

，
解得：x=

125

36

．
綜上所述，存在x的值為

25

9

或

125

36

，使得△APQ與△ABC相似．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，勾股定理等知識點，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，屬于中檔題．