【題目】定義:若某拋物線上有兩點AB關(guān)于原點對稱,則稱該拋物線為“完美拋物線”.已知二次函數(shù)a,m,c均為常數(shù)且ac)是“完美拋物線”:

(1)試判斷ac的符號;

(2)若c=-1,該二次函數(shù)圖像與y軸交于點C,且.

①求a的值;

②當(dāng)該二次函數(shù)圖像與端點為M(-1,1)、N(3,4)的線段有且只有一個交點時,求m的取值范圍.

【答案】(1)ac<0;

(2)①a的值為1;

m的取值范圍是

【解析】(1)首先設(shè)A點的坐標(biāo)是(p,q),根據(jù)A,B關(guān)于原點對稱,判斷出B點的坐標(biāo)是(-p,-q);然后根據(jù)A,B都是拋物線上的點,代入求解即可;

(2)①.故a=1.

②由①可知:拋物線解析式為.MN ().

依題,只需聯(lián)立內(nèi)只有一個解即可.

試題解析:(1)設(shè)A (p,q).則B (-p,-q).把A、B坐標(biāo)代入解析式可得:

.

.即.

.

ac.

.

ac<0.

(2)c=-1.∴,a>0,且C(0,-1).∴.

.∴a=1.

②由①可知:拋物線解析式為.∵M(-1,1)、N(3,4).

MN ().

依題,只需聯(lián)立內(nèi)只有一個解即可.

.故問題轉(zhuǎn)化為:方程內(nèi)只有一個解.

建立新的二次函數(shù): .∵.

∴拋物線x軸有兩個交點,且交y軸于負半軸.

問題進一步轉(zhuǎn)化為拋物線x軸的兩個交點中,只能有一個點落在以P(-1,0)、Q(3,0)為端點的線段PQ上.

分情況討論:

㈠當(dāng)拋物線與x軸的左交點落在線段PQ上.則右交點在PQ的延長線上.如圖(1):

則對于函數(shù) 即: ,

解得: .

㈡當(dāng)拋物線與x軸的右交點落在線段PQ上.則左交點在QP的延長線上.如圖(2):

則對于函數(shù)

即: ,解得: .

綜上所述, .

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