Question

如圖14.1，在梯形ABCD中，AD//BC,點(diǎn)M、N分別在邊AB、DC上，且MN//AD，記AD=a ,BC=b.

若 = ,則有結(jié)論：MN = .請根據(jù)以上結(jié)論，解答下列問題：

如圖14.2、14.3，BE、CF是△ABC的兩條角平分線，過EF上一點(diǎn)P分別作△ABC三邊的垂線段PP₁、PP₂、PP₃，交BC于點(diǎn)P₁，交AB于點(diǎn)P₂，交AC于點(diǎn)P₃ .

(1)若點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，求證： PP₁ = PP₂ + PP₃ ；

(2)若點(diǎn)P為線段EF上的任意點(diǎn)，試探究PP₁、PP₂、PP₃的數(shù)量關(guān)系，并給出證明。

Answer 1

解：（1）證明：過點(diǎn)E分別作BC、AB的垂線，垂足分別為M、N，過點(diǎn)F分別作BC、AC的垂線，垂足分別為G、H。

BE、CF分別為∠ABC、∠ACB的角平分線，EN=EM，F(xiàn)H=FG，

PP₂//EN，PP₃//FH，點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，PP₂=EN=EM,PP₃=FH=FG.

PP₁//FG//EM , , PP₁= = =FG+ EM = PP₂+ PP₃.

(2) PP₁= PP₂+ PP₃.

證明：過點(diǎn)E分別作BC、AB的垂線，垂足分別為M、N，過點(diǎn)F分別作BC、AC的垂線，垂足分別為G、H。

令FG = a ,EM = b, = , PP₁//FG//EM , PP₁= ；

EM=EN, = = ,PP₂= ·EN= ·EM=  ；

同理可得：PP₃ = ·FH = ·FG = ；+ = ,

PP₁= PP₂+ PP₃.