Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），直線y=x+1與二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上．
（1）二次函數(shù)的解析式為y=______；
（2）證明：點(diǎn)（-m，2m-1）不在（1）中所求的二次函數(shù)的圖象上；
（3）若C為線段AB的中點(diǎn)，過C點(diǎn)作CE⊥x軸于E點(diǎn)，CE與二次函數(shù)的圖象交于D點(diǎn)．
①y軸上存在點(diǎn)K，使以K，A，D，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則K點(diǎn)的坐標(biāo)是______；
②二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)p，使得S_三角形POE=2S_三角形ABD？求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），故根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式寫出拋物線解析式．
（2）把該點(diǎn)代入拋物線上，得到m的一元二次方程，求根的判別式．
（3）由直線y=x+1與二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，解得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，
①設(shè)K點(diǎn)坐標(biāo)（0，a），使K，A，D，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則KA=DC，且BA∥DK，進(jìn)而求出K點(diǎn)的坐標(biāo)．
②過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，則BF∥CE∥AO，又C為AB中點(diǎn)，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，可得到S_三角形ABD=2S_三角形ACD，設(shè)P（x，x²-x+1），由題意可以解出x．
解答：（1）解：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），可設(shè)解析式為：y=a（x-2）²，
把x=0代入y=x+1得y=1，則A（0，1）
再代入y=a（x-2）²得：1=4a，則a=．
故二次函數(shù)的解析式為：y=（x-2）²=x²-x+1．

（2）證明：設(shè)點(diǎn)（-m，2m-1）在二次函數(shù)y=x²-x+1的圖象上，
則有：2m-1=m²+m+1，
整理得m²-4m+8=0，
∵△=（-4）²-4×8=-16＜0
∴原方程無解，
∴點(diǎn)（-m，2m-1）不在二次函數(shù)y=x²-x+1的圖象上．

（3）解：①K（0，-3）或（0，5）；
②二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使得S_△POE=2S_△ABD，
如圖，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，則BF∥CE∥AO，又C為AB中點(diǎn)，
∴OE=EF，由于y=x²-x+1和y=x+1可求得點(diǎn)B（8，9）
∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），
∴AD∥x軸，
∴S_△ABD=2S_△ACD=2××4×4=16．
設(shè)P（x，x²-x+1），
由題意有：S_△POE=×4（-x+1）=x²-2x+2，
∵S_△POE=2S_△ABD
∴x²-2x+2=32
解得x=-6或x=10，
當(dāng)x=-6時(shí)，y=×36+6+1=16，
當(dāng)x=10時(shí)，y=×100-10+1=16，
∴存在點(diǎn)P（-6，16）和P（10，16），使得S_△POE=2S_△ABD，得到
△POE的邊OE上的高為16，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為16，
然后由16=x²-x+1可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題二次函數(shù)的綜合題，要求會求二次函數(shù)的解析式和兩圖象的交點(diǎn)，會判斷點(diǎn)是否在直線上，本題步驟有點(diǎn)多，做題需要細(xì)心．