Question

已知：如圖正方形ABCD中，AE與BD交于F，過點F作MN∥AB，交AD于M，交BC于點N，FH⊥AE，HG⊥BD．
（1）求證：AF=FH；
（2）求證：BD=2GF．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：證明題

分析：（1）延長HF交AD于點L，連接CF，通過證明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需證明FC=FH，可證：AF=FH；
（2）連接AC交BD于點O，證BD=2FG，只需證OA=GF即可，根據△AOF≌△FGH，可證OA=GF，故可證BD=2FG．

解答：證明：（1）連接FC，延長HF交AD于點L，
∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC，
∴FH=AF；

（2）連接AC交BD于點O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．

點評：本題考查了等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質和正方形的性質，解答本題要充分利用正方形的特殊性質，在解題過程中要多次利用三角形全等是解題的關鍵．