Question

將一個圓分成三個相同的扇形，將其中一個卷成圓錐，錐頂對錐底圓周上任意兩點的最大張角的余弦值是

 

．

Answer 1

考點：圓錐的計算

專題：計算題

分析：設扇形的半徑為R，圓錐的底面圓的半徑為r，SA=AB=R，OA=r，根據(jù)圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長得2πr=

1

3

•2πR，
則r=

1

3

R，作BH⊥SA，連結SO，在Rt△SOB中，根據(jù)勾股定理計算出OS=

2 2

3

R，再利用面積法得到BH=

4 2

9

R，在Rt△BHS中，根據(jù)勾故定理得到SH=

7

9

R，
然后根據(jù)余弦的定義得cos∠BSH=

SH

SB

=

7

9

．

解答：解：如圖，設扇形的半徑為R，圓錐的底面圓的半徑為r，
則SA=AB=R，OA=r，
∴2πr=

1

3

•2πR，
∴r=

1

3

R，
作BH⊥SA，連結SO，
在Rt△SOB中，OS=

SB2-OB2

=

2 2

3

R，
∵

1

2

BH•SA=

1

2

AB•SO，
∴BH=

2 3 R• 2 2 3 R

R

=

4 2

9

R，
在Rt△BHS中，SH=

SB2-BH2

=

7

9

R，
∴cos∠BSH=

SH

SB

=

7

9

．
∴錐頂對錐底圓周上任意兩點的最大張角的余弦值為

7

9

．

故答案為

7

9

．

點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)．