【題目】如圖①,點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn),以P點(diǎn)為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM,ON交于AB兩點(diǎn),如果∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OA·OBOP2,我們就把∠APB叫作∠MON的智慧角.

(1)如圖②,已知∠MON=90°,點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn),以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM,ON交于AB兩點(diǎn),且∠APB=135°,求證:∠APB是∠MON的智慧角;

(2)如圖①,已知∠MONα(0°<α<90°),OP=2,若∠APB是∠MON的智慧角,連接AB,用含α的式子分別表示∠APB的度數(shù)和△AOB的面積.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)APB=180°-,SAOB=2sinα..

【解析】試題分析

(1) 在△OAP中利用三角形內(nèi)角和可以求得∠OAP+APO135°,再根據(jù)已知條件容易得到∠OAP=OPB. 由“兩組內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等”不難證明△AOP∽△POB. 利用相似三角形的性質(zhì)可以證明OA·OB=OP2. 由于上述證明過(guò)程中所用到的幾何關(guān)系不隨旋轉(zhuǎn)而改變,所以可以證明本小題的結(jié)論.

(2) 利用已知條件不難通過(guò)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角相等證明△AOP∽△POB. 通過(guò)∠OAP=OPB可以將∠APB轉(zhuǎn)化為△OAP的兩個(gè)內(nèi)角之和,從而利用三角形內(nèi)角和獲得∠APBα的關(guān)系. 至于△AOB的面積,可以作出OB邊上的高,利用銳角三角函數(shù)將這條高的長(zhǎng)度用含有OAα的式子表示出來(lái). 通過(guò)三角形面積公式和OA·OB=OP2的關(guān)系可以得到△AOB的面積與α的關(guān)系.

試題解析:

(1) 證明:∵∠MON=90°,點(diǎn)P為∠MON平分線上的一點(diǎn),

,

∵在△OAP中,∠AOP+OAP+APO=180°,

∴∠OAP+APO=180°-AOP=180°-45°=135°.

∵∠APB=135°,

∴∠APO+OPB=135°,

∴∠OAP=OPB,

∵∠OAP=OPBAOP=POB=45°,

∴△AOP∽△POB,

,

OP2=OA·OB,

∴∠APB是∠MON的智慧角.

(2) 下面求解∠APB的度數(shù).

∵∠APB是∠MON的智慧角,

OA·OB=OP2,

,

∵點(diǎn)P為∠MON平分線上的一點(diǎn),∠MON=α (0°<α<90°),

.

,AOP=POB

∴△AOP∽△POB,

∴∠OAP=OPB

∵在△OAP中,∠AOP+OAP+APO=180°,

∴∠OAP+APO=180°-AOP=,

∵∠APB=OPB+APO=OAP+APO,

.

下面求解△AOB的面積.

如圖,過(guò)點(diǎn)AAHOB,垂足為H. (以下用符號(hào)SAOB代指△AOB的面積)

∵∠MON=α (0°<α<90°),即∠AOH=α,

∴在RtOHA,

,

∵∠APB是∠MON的智慧角,

OA·OB=OP2,

,

OP=2,

,即△AOB的面積為.

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