Question

正△ABC中，AE=CF，AF，BE交于點P，已知PA=2，PB=4，則PC=________．

Answer 1

分析：要求PC的長，有特殊角時要利用特殊角，本題很容易得出△ABE≌△CAF，從而得出∠APE=∠BPF=60°，得出全等三角形同一底邊上的高也相等，利用勾股定理可以求出PC的長．
解答：解：分別過點A、C作AG⊥BE于點G，CD⊥AF于點D．
∵△ABC是正三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CAF，
∴∠1=∠2，AG=CD，
∵∠1+∠3=60°，
∴∠2+∠3=∠4=∠5=60°，
∵AG⊥BE，CD⊥AF，
∴∠AGB=∠CDA=90°，
∵∠1=∠2，AB=AC，
∴△ABG≌△CAD，
∴BG=AD，
在△APG中，∠AGB=90°，∠4=60°，AP=2，由勾股定理得
PG=1，AG=，
∴CD=，
∵PB=4，
∴BG=5，
∴AD=5，
∵AP=2，
∴PD=3，
在Rt△CDP中，由勾股定理得PC=2．
故答案為：PC=2．
點評：本題是一道利用正三角形的性質解答的幾何題，本題考查了三角形全等，特殊角30°，60°角的運用以及輔助線的作法．