Question

【題目】如圖,已知A(-4,0)、B(0,2)、C(6,0),直線AB與直線CD相交于點D,D點的橫縱坐標相同；

(1)求點D的坐標；

(2)點P從O出發(fā),以每秒1個單位的速度沿x軸正半軸勻速運動,過點P作x軸的垂線分別與直線AB、CD交于E、F兩點,設(shè)點P的運動時間為t秒,線段EF的長為y(y>0),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍；

(3)在(2)的條件下,直線CD上是否存在點Q,使得△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,請求出符合條件的Q點坐標,若不存在,請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）D（4，4）；（2）y，t的取值范圍為：0≤t＜4或t＞4；（3）存在，其坐標為（，）或（14，-16），見解析.

【解析】

（1）根據(jù)條件可求得直線AB的解析式，可設(shè)D為（a，a），代入可求得D點坐標；

（2）分0≤t＜4、4＜t≤6和t＞6三種情況分別討論，利用平行線分線段成比例用t表示出PE、PF，可得到y與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）分0＜t＜4和t＞4，兩種情況，過Q作x軸的垂線，證明三角形全等，用t表示出Q點的坐標，代入直線CD，可求得t的值，可得出Q點的坐標．

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

將A（-4，0）、B（0，2）兩點代入，

解得，k＝ ，b=2，

∴直線AB解析式為y＝x+2，

∵D點橫縱坐標相同，設(shè)D（a，a），

∴a＝a+2，

∴D（4，4）；

（2）設(shè)直線CD解析式為y=mx+n，

把C、D兩點坐標代入，解得m=-2，n=12，

∴直線CD的解析式為y=-2x+12，

∴AB⊥CD，

當0≤t＜4時，如圖1，

設(shè)直線CD于y軸交于點G，則OG=12，OA=4，OC=6，OB=2，OP=t，

∴PC=6-t，AP=4+t，

∵PF∥OG，

,

,

,

,

當4＜t≤6時，如圖2，

同理可求得PE=2+ ，PF=12-2t，

此時y=PE-PF= t+2(2t+12)＝t10，

當t＞6時，如圖3

同理可求得PE=2+，PF=2t-12，

此時y=PE+PF=t-10；

綜上可知y，t的取值范圍為：0≤t＜4或t＞4；

（3）存在．

當0＜t＜4時，過點Q作QM⊥x軸于點M，如圖4，

∵∠BPQ=90°，

∴∠BPO+∠QPM=∠OBP+∠BPO=90°，

∴∠OPB=∠QPM，

在△BOP和△PMQ中，

∴△BOP≌△PMQ（AAS），

∴BO=PM=2，OP=QM=t，

∴Q（2+t，t），

又Q在直線CD上，

∴t=-2（t+2）+12，

∴t= ，

∴Q（，）；

當t＞4時，過點Q作QN⊥x軸于點N，如圖5，

同理可證明△BOP≌△PNQ，

∴BO=PN=2，OP=QN=t，

∴Q（t-2，-t），

又∵Q在直線CD上，

∴-t=-2（t-2）+12，

∴t=16，

∴Q（14，-16），

綜上可知，存在符合條件的Q點，其坐標為（，）或（14，-16）．