Question

【題目】如圖，將矩形紙片ABCD置于直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)D（異于點(diǎn)B、C）為邊BC上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O、D折疊紙片，得點(diǎn)B′和折痕OD．過(guò)點(diǎn)D再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線DB′上，得點(diǎn)C′和折痕DE，連接OE，設(shè)BD=t．

（1）當(dāng)t=1時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）設(shè)S四邊形OECB=s，用含t的式子表示s（要求寫出t的取值范圍）；

（3）當(dāng)OE取最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（4，2）；（2）S=（0＜t＜4）；（3）（4，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△BOD≌△CDE，求出CE，計(jì)算出AE，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用t表示出CE，根據(jù)梯形的面積公式用t表示S；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出AE的最小值，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

試題解析：（1）由折疊的性質(zhì)可知，∠ODB=∠ODB′，∠EDC=∠EDC′，∴∠ODE=90°，∴∠BDO+∠CDE=90°，又∠BDO+∠BOD=90°，∴∠BOD=∠CDE，∵BD=t=1，BC=4，∴CD=3，又OB=3，∴OB=CD，在△BOD和△CDE中，∵∠B=∠C，OB=CD，∠BOD=∠CDE，∴△BOD≌△CDE，∴CE=BD=1，∴AE=AC﹣CE=2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）；

（2）∵BD=t，∴DC=BC﹣BD=4﹣t，由（1）得，∠BOD=∠CDE，又∠B=∠C=90°，∴△ODB∽△DCE，∴，即，解得，CE=，∴S=×（CE+OB）×BC=×（+3）×4，∴S=（0＜t＜4）；

（3）在Rt△OEA中，OE2=OA2+AE2=42+AE2，∴當(dāng)AE最小時(shí)，OE最小，由（2）得，CE=，∴AE=AC﹣CE==，當(dāng)t=2時(shí)，AE的最小值為，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，）．