Question

如圖所示，正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中點(diǎn)，DF⊥AE于F．
（1）試說明：△ABE∽△DFA；
（2）求△DFA的面積S₁和四邊形CDFE的面積S₂．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)結(jié)合條件可得∠DAF=∠AEB，且∠B=∠AFD，可證明△ABE∽△DFA；
（2）可求得△ABE的面積，再由（1）相似可求得△DFA的面積，再利用正方形的面積相減可求得四邊形CDFE的面積．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠B=∠AFD，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵AB=2，E為BC中點(diǎn)，
∴BE=1，
∴AE=

5

，
∴S_△ABE=

1

2

AB•BE=

1

2

×2×1=1，
∵△ABE∽△DFA，
∴

S△ABE

S△DFA

=（

AE

AD

）²=（

5

2

）²=

5

4

，
∴

1

S1

=

5

4

，
∴S₁=

4

5

，
又∵S_{正方形ABCD}=AB²=4，
∴S₂=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF=4-1-

4

5

=

11

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．