Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，D是圓周上半部分不與A，B重合的動點，連接BD，AD．
（1）延長BD交⊙O在A點的切線于C，若AO=$\sqrt{3}$CD，求∠ACB的大小；
（2）填空：①若AB=2，當AD=$\sqrt{2}$時△ABD的面積最大；②當∠BAD=60°時BD=$\sqrt{3}$AD．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理可得AD⊥BC，由切線的性質(zhì)定理可得AC⊥AB，所以可設CD=1，AD=x，根據(jù)射影定理可得出關系式：AD²=CD•BD，進而可求出∠ACB的大��；
（2）①AB為定值，所以△ABD的面積最大時，則AB邊上的高線最大，即DO⊥AB，由此即可求出AD的長；②因為△ADB是直角三角形，BD=$\sqrt{3}$AD，所以可求出∠BAD大小．

解答 解：
（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
設CD=1，AD=x，
∵AO=$\sqrt{3}$CD
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{12-{x}^{2}}$，
根據(jù)射影定理可得出關系式：AD²=CD•BD，
所以x²=$\sqrt{12{-x}^{2}}$，即x⁴=12-x²
得x=$\sqrt{3}$，
∴∠ACB=60°．
（2）①∵AB為定值，所以△ABD的面積最大時，則AB邊上的高線最大，即DO⊥AB，
∴AO=BO，∠ADB=90°
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AD=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$；
②∵∠ADB=90°，BD=$\sqrt{3}$AD
∴tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}=\sqrt{3}$，
∴∠BAD=60°，
故答案為：60．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理的運用、射影定理的運用、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，題目的綜合性較強，熟記和圓有關的性質(zhì)是解題的關鍵．