Question

已知AM平分∠BAC，AB=AC=10，cos∠BAM=

4

5

．點O為射線AM上的動點，以O(shè)為圓心，BO為半徑畫圓交直線AB于點E（不與點B重合）．
（1）如圖（1），當點O為BC與AM的交點時，求BE的長；
（2）以點A為圓心，AO為半徑畫圓，如果⊙A與⊙O相切，求AO的長；
（3）試就點E在直線AB上相對于A、B兩點的位置關(guān)系加以討論，并指出相應(yīng)的AO的取值范圍；

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)AM平分∠BAC，AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)可得出AM⊥BC，根據(jù)cos∠BAM=

4

5

，求得BO=6，AO=8，作OH⊥AE，因為O為圓心，則BH=EH，在Rt△BOH中，

BH

BO

=cosB，求得BH，從而得出BE的長．
（2）根據(jù)⊙A與⊙O相切，可得出⊙A與⊙O只可能相內(nèi)切，且⊙A在⊙O的內(nèi)部，則OB=2OA，設(shè)OA=x，則OB=2x，作 BP⊥AM，則AP=8，BP=6，OP=8-x，
在Rt△BPO中，根據(jù)勾股定理得出OP²+BP²=OB²，代入求得x即可．
（3）過AB中點作AB的垂線交AM于點O₁，可得AO₁=

25

4

，過B作AB的垂線交AM于點O₂，可得AO₂=

25

2

，分三種情況：①當0≤AO＜

25

4

時，點E在BA的延長線上；②當

25

4

≤AO＜

25

2

時，點E在線段AB上；③當AO＞

25

2

時，點E在AB的延長線上．

解答：解：（1）∵AM平分∠BAC，AB=AC，
∴AM⊥BC，
∵cos∠BAM=

4

5

，AB=10，
∴cos∠B=

3

5

，BO=6，AO=8，
作OH⊥AE，
∵O為圓心，
∴BH=EH，
在Rt△BOH中，

BH

BO

=cosB，
∴BH=6×

3

5

=

18

5

，
∴BE=2BH=

36

5

．
（2）∵⊙A與⊙O相切，AO為⊙A半徑，
∴⊙A與⊙O只可能相內(nèi)切，且⊙A在⊙O的內(nèi)部，
∴OA=OB-OA，
∴OB=2OA，
設(shè)OA=x，則OB=2x，
作 BP⊥AM，則AP=8，BP=6，OP=8-x，
在Rt△BPO中，OP²+BP²=OB²，即（8-x）²+6²=4x²，
∴3x²+16x-100=0，
∴x=

-8±2 91

3

，（負舍），
∴OA=x=

-8+2 91

3

．
（3）過AB中點作AB的垂線交AM于點O₁，可得AO₁=

25

4

，
過B作AB的垂線交AM于點O₂，可得AO₂=

25

2

，
當0≤AO＜

25

4

時，點E在BA的延長線上；
當

25

4

≤AO＜

25

2

時，點E在線段AB上；
當AO＞

25

2

時，點E在AB的延長線上．

點評：本題考查了圓的綜合知識，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理以及三角函數(shù)的定義，注意圖形之間的聯(lián)系．