【題目】如圖,RtABC,ACB=90°,BC>AC,以斜邊AB 所在直線為x,以斜邊AB上的高所在直線為y,建立直角坐標(biāo)系,OA2+OB2= 17, 且線段OA、OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的兩個(gè)根.

(1)C點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)以斜邊AB為直徑作圓與y軸交于另一點(diǎn)E,求過A、B、E 三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式,并畫出此拋物線的草圖.

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使ABPABC全等?若存在,求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】1C(0,2);(2y=.3(0,-2)(3,-2)

【解析】本題是二次函數(shù)與圓以及全等三角形相結(jié)合的題目,難度較大

1)線段OAOB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2m-3=0的兩個(gè)根.根據(jù)韋達(dá)定理就可以得到關(guān)于OA,OB的兩個(gè)式子,再已知OA2+OB2=17,就可以得到一個(gè)關(guān)于m的方程,從而求出m的值.求出OA,OB.根據(jù)OC2=OAOB就可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo);

2)由第一問很容易求出A,B的坐標(biāo).連接AB的中點(diǎn),設(shè)是M,與E,在直角△OME中,根據(jù)勾股定理就可以求出OE的長,得到E點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式;

3E點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn).同時(shí)C,E關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)也是滿足條件的點(diǎn).

解:(1)線段OA,OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)="0" 的兩個(gè)根,

∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③

①,②代入③,m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,m=-1m=5.

又知OA+OB=m>0,∴m=-1應(yīng)舍去.

當(dāng)m=5時(shí),得方程:x2-5x+4=0,解之,x=1x=4.

∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,

Rt△ABC,∠ACB=90°,CO⊥AB,

∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)

(2)∵OA=1,OB=4,C,E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,

∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).

設(shè)經(jīng)過A,B,E三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式為

y=ax2+bx+c,,解之,

所求拋物線關(guān)系式為y=.

(3)存在.∵點(diǎn)E是拋物線與圓的交點(diǎn).

∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合條件.

圓心的坐標(biāo)(,0 )在拋物線的對稱軸上.

這個(gè)圓和這條拋物線均關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.

點(diǎn)E關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)E′也符合題意.

可求得E′(3,-2).

拋物線上存在點(diǎn)P符合題意,它們的坐標(biāo)是(0,-2)(3,-2)

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x

0

1

2

ax2

1

ax2+bx+c

3

3

(1)ab、c的值,并在表內(nèi)空格處填入正確的數(shù);

(2)請你根據(jù)上面的結(jié)果判斷:

①是否存在實(shí)數(shù)x,使二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的值為0?若存在,求出這個(gè)實(shí)數(shù)值;若不存在,請說明理由.

②畫出函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象示意圖,由圖象確定,當(dāng)x取什么實(shí)數(shù)時(shí),ax2+ bx+c>0?

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