Question

17．如圖，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，點(diǎn)P₁，P₂，P₃，…，P_n在函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上，斜邊OA₁，A₁A₂，A₂A₃，…，A_n-1A_n都在x軸上，則點(diǎn)A₁的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)A₂₀₁₆的坐標(biāo)是（24$\sqrt{14}$，0）．

Answer 1

分析 分別作出點(diǎn)P₁，P₂，P₃與x軸的垂線段，根據(jù)等腰直角三角形三線合一的性質(zhì)可知，這此垂線段又是斜邊上的中線，則等于斜邊的一半；設(shè)未知數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)關(guān)系式列等量關(guān)系，求出未知數(shù)的值，并取舍，找出規(guī)律，并化簡(jiǎn)．

解答 解：過點(diǎn)P₁作P₁B⊥x軸于B，
∵△P₁OA₁是等腰直角三角形，
∴OB=P₁B，
則OB•P₁B=1，
∴OB=1，OA₁=2，
∴A₁（2，0）；
過點(diǎn)P₂作P₂D⊥x軸于D，設(shè)A₁D=x，則OD=2+x，
同理得：A₁D=P₂D=x，
則OD•P₂D=1，
x（2+x）=1，
解得：x₁=-1+$\sqrt{2}$，x₂=-1-$\sqrt{2}$（舍），
∴A₂（2$\sqrt{2}$，0）
過點(diǎn)P₃作P₃E⊥x軸于E，設(shè)P₃E=y，則OE=2$\sqrt{2}$+y，
則OE•P₃E=1，
y（2$\sqrt{2}$+y）=1，
解得：y₁=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，y₂=-$\sqrt{2}-\sqrt{3}$（舍），
∴A₂A₃=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$，
∴OA₃=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴A₃（2$\sqrt{3}$，0），
所以可以得出：A₂₀₁₆的坐標(biāo)（2$\sqrt{2016}$，0），即（24$\sqrt{14}$，0），
故答案為：（2，0），（24$\sqrt{14}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，同時(shí)也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)；本題的關(guān)鍵是找出等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即點(diǎn)P₁，P₂，P₃的縱坐標(biāo)等于斜邊的一半．