【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),其中點(diǎn)A(0,1,點(diǎn)B(﹣9,10,AC∥x軸,點(diǎn)P時(shí)直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(1求拋物線的解析式;(2過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1y=x2+2x+1;(2P(﹣,﹣;(3(﹣4,1(3,1

【解析】

試題分析:(1用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可;(2設(shè)點(diǎn)P(m, m2+2m+1,表示出PE=﹣m2﹣3m,再用S四邊形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE,建立函數(shù)關(guān)系式,求出極值即可;(3先判斷出PF=CF,再得到∠PCF=∠EAF,以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,分兩種情況計(jì)算即可.

試題解析:(1∵點(diǎn)A(0,1.B(﹣9,10在拋物線上,

,

b=2,c=1

∴拋物線的解析式為y=x2+2x+1,

(2∵AC∥x軸,A(0,1

x2+2x+1=1,

∴x1=6,x2=0,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)(﹣6,1

∵點(diǎn)A(0,1.B(﹣9,10

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1,

設(shè)點(diǎn)P(m, m2+2m+1

∴E(m,﹣m+1

∴PE=﹣m+1﹣(m2+2m+1=﹣m2﹣3m,

∵AC⊥EP,AC=6,

∴S四邊形AECP

=S△AEC+S△APC

=AC×EF+AC×PF

=AC×(EF+PF

=AC×PE

=×6×(﹣m2﹣3m

=﹣m2﹣9m

=﹣(m+2+,

∵﹣6<m<0

∴當(dāng)m=﹣時(shí),四邊形AECP的面積的最大值是,

此時(shí)點(diǎn)P(﹣,﹣

(3∵y=x2+2x+1=(x+32﹣2,

∴P(﹣3,﹣2,

∴PF=yF﹣yP=3,CF=xF﹣xC=3,

∴PF=CF,

∴∠PCF=45°

同理可得:∠EAF=45°,

∴∠PCF=∠EAF,

∴在直線AC上存在滿(mǎn)足條件的Q,

設(shè)Q(t,1且AB=9,AC=6,CP=3

∵以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,

①當(dāng)△CPQ∽△ABC時(shí),

,

,

∴t=﹣4,

∴Q(﹣4,1

②當(dāng)△CQP∽△ABC時(shí),

,

∴t=3,

∴Q(3,1

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進(jìn)球數(shù)(個(gè))

1

2

3

4

5

7

人數(shù)(人)

1

1

4

2

3

1

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