Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE、OE．

（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；

（2）試探究線段CD、DE、EO之間的等量關(guān)系，并加以證明；

（2）若tanC=，DE=2，求AD的長．

Answer 1

       解：（1）DE與⊙O相切．理由如下：連接OD，BD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠BDC=90°．

∵E是BC的中點，

∴DE=BE=CE．

∴∠EBD=∠EDB．

∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB．∴∠EDO=∠EBO=90°．

∴DE與⊙O相切．

（2）由題意，可得OE是△ABC的中位線，

∴AC=2OE．

∵∠ABC=∠BDC=90°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC．

∴，即BC²=CD•AC．        

∵BC=2EB=2DE，AC=2EO，

∴4DE²=CD•2EO．

即2DE²=CD•EO．

（3）∵tanC==，可設(shè)BD=x，CD=2x，

∵在Rt△BCD中，BC=2DE=4，BD²+CD²=BC²．

∴（）²+（2x）²=16．

解得：x=±（負(fù)值舍去）． 

∴BD==．

∵∠ABD=∠C，

∴tan∠ABD=tanC．

∴AD===．

答：AD的長是．