Question

（本題滿分10分）閱讀理【解析】

如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．解決問題：

（1）如圖①，∠A=∠B=∠DEC=45°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；

（2）如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強相似點；

（3）如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試確定E點位置．

 

Answer 1

(1) 點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點;(2)詳見解析；（3）E在BC中點

【解析】

試題分析：（1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．

（2）根據(jù)兩個直角三角形相似得到強相似點的兩種情況即可．

（3）因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例，可以判斷出BC和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解．

試題解析：：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．

理由：∵∠A=55°，

∴∠ADE+∠DEA=125°．

∵∠DEC=55°，

∴∠BEC+∠DEA=125°．

∴∠ADE=∠BEC．（2分）

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC．

∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點．

（2）作圖如下：

（3）∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．

由折疊可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=1/3 ∠BCD=30°，BE=1/2 CE＝1/2 AB，即點E為AB中點。

考點: 相似形綜合題．