Question

已知，如圖(a)，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A(x₁,0),B(x₂,0)，C(0,-2)，其頂點為D.以AB為直徑的⊙M交y軸于點E、F，過點E作⊙M的切線交x軸于點N.∠ONE=30°，|x₁-x₂|=8.

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）連結(jié)AD、BD,在（1）中的拋物線上是否存在一點P，使得⊿ABP與⊿ADB相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；

（3）如圖（b）,點Q為上的動點（Q不與E、F重合），連結(jié)AQ交y軸于點H，問：

AH·AQ是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

(2）如圖，由拋物線的對稱性可知：

，．

必須有．             

設AP交拋物線的對稱軸于D′點，

顯然，

∴直線的解析式為 ，             

由，得.

∴ .                     

過作

∵

∴．．

∴與不相似，                 …………………………9分

同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的點．

所以在該拋物線上不存在點，使得與與相似．…………………… 10分

(3)連結(jié)AF、QF,

在和中，M

由垂徑定理易知：弧AE=弧AF.

∴,

又,

∴∽,

,

                  ……………… 12分

在Rt△AOF中，AF²＝AO²＋OF²＝2²＋(2)²＝16（或利用AF²＝AO·AB＝2×8＝16）

∴AH·AQ＝16

即：AH·AQ為定值。                              …………… 14分