【題目】已知:關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過點(﹣1,0)和(2,6).
(1)求b和c的值.
(2)若點A(n,y1),B(n+1,y2),C(n+2,y3)都在這個二次函數(shù)的圖象上,問是否存在整數(shù)n,使 + + = ?若存在,請求出n;若不存在,請說明理由.
(3)若點P是二次函數(shù)圖象在y軸左側(cè)部分上的一個動點,將直線y=﹣2x沿y軸向下平移,分別交x軸、y軸于C、D兩點,若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似,請求出所有符合條件點P的坐標(biāo).
【答案】
(1)解:把(﹣1,0)和(2,6)代入y=x2+bx+c中,
得 解得 ,
∴b=1,c=0.
(2)解:由題意y1=n2+n,y2=(n+1)2+(n+1),y3=(n+2)2+(n+2),
∵ + + = ,
∴ + + = ,
∴ ﹣ + ﹣ + ﹣ = ,
∴ ﹣ = ,
整理得n2+3n﹣10=0,
解得n=2或﹣5.
經(jīng)過檢驗n=2和﹣5是分式方程的解.
(3)解:當(dāng)D為直角頂點時,由圖象可知不存在點P,使得△PCD為直角三角形,當(dāng)C為直角頂點,CD為直角邊時,作PE⊥OC于E.
設(shè)直線y=﹣2x向下平移m個單位,則直線CD解析式為y=﹣2x﹣m,
∴點D坐標(biāo)(0,﹣m),點C坐標(biāo)(﹣ ,0),
∴OD=m,OC= ,
∴OD=20C,
∵△PCD與△OCD相似,
∴CD=2PC或PC=2CD,
①當(dāng)CD=2PC時,
∵∠PCD=90°,
∴∠PCE+∠DCO=90°,∠DCO+∠CDO=90°,
∴∠PCE=∠CDO,
∵∠PEC=∠COD=90°,
∴△COD∽△PEC,
∴ = = =2,
∴EC= ,PE= ,
∴點P坐標(biāo)(﹣m,﹣ ),代入y=x2+x,
得﹣ =m2﹣m,解得m= 或(0舍棄)
∴點P坐標(biāo)(﹣ ,﹣ ).
②PC=2CD時,由 = = = ,
∴EC=2m,PE=m,
∴點P坐標(biāo)(﹣ m,﹣m),代入y=x2+x,
得﹣m= m2﹣ m,
解得m= 和(0舍棄),
∴點P坐標(biāo)(﹣ ,﹣ ).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可得;
(2)直接把A、B、C三點的坐標(biāo)代入(1)中所求得解析式可得y1,y2,y3的值,再代入所給的得y1,y2,y3之間的關(guān)系式化簡解方程可得;
(3)分D、C分別為直角頂點來討論求解.注意C為直角頂點存在兩種情況:CD=2PC和PC=2CD.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解去分母法的相關(guān)知識,掌握先約后乘公分母,整式方程轉(zhuǎn)化出.特殊情況可換元,去掉分母是出路.求得解后要驗根,原留增舍別含糊,以及對二次函數(shù)圖象的平移的理解,了解平移步驟:(1)配方 y=a(x-h)2+k,確定頂點(h,k)(2)對x軸左加右減;對y軸上加下減.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2(a>0)相交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸正半軸相交于點C,過點A作AD⊥x軸,垂足為D.
(1)若∠AOB=60°,AB∥x軸,AB=2,求a的值;
(2)若∠AOB=90°,點A的橫坐標(biāo)為﹣4,AC=4BC,求點B的坐標(biāo);
(3)延長AD、BO相交于點E,求證:DE=CO.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是用火柴棍擺成邊長分別是1、2、3根火柴棍時的正方形,當(dāng)邊長為n根火柴棍時,若擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為S,則S= (用含n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,反比例函數(shù)y1= 的圖象與一次函數(shù)y2=ax+b的圖象交于點A(1,3)和B(﹣3,m).
(1)求反比例函數(shù)y1= 和一次函數(shù)y2=ax+b的表達(dá)式;
(2)點C 是坐標(biāo)平面內(nèi)一點,BC∥x 軸,AD⊥BC 交直線BC 于點D,連接AC.若AC= CD,求點C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】目前,我市城市居民用電收費方式有以下兩種:
普通電價付費方式:全天0. 52元/度;
峰谷電價付費方式:峰時(早8:00~晚21:00)0. 65元/度;谷時(晚21:00~早8:00)0. 40元/度.
(1)小麗老師家10月份總用電量為280度.
①若其中峰時電量為80度,則小麗老師家按照哪種方式付電費比較合適?能省多少元?
②若小麗老師交費137元,那么,小麗老師家峰時電量為多少度?
(2)到11月份付費時,小麗老師發(fā)現(xiàn)11月份總用電量為320度,用峰谷電價付費方式比普通電價付費方式省了18. 4元,那么,11月份小麗老師家峰時電量為多少度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將長為40 cm、寬為15 cm的長方形白紙,按如圖所示的方法黏合起來,黏合部分寬為5 cm.
…
(1)根據(jù)上圖,將表格補(bǔ)充完整:
白紙張數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
紙條長度 | 40 | 110 | 145 | … |
(2)設(shè)x張白紙黏合后的總長度為y cm,則y與x之間的關(guān)系式是什么?
(3)你認(rèn)為多少張白紙黏合起來總長度可能為2 018 cm嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】滿足下列條件的△ABC,不是直角三角形的是( )
A. b2=a2﹣c2 B. a:b:c=3:4:5
C. ∠C=∠A﹣∠B D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一塊直角三角形的紙片,兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,則CD等于( ).
A. 2 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 5 cm
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