【題目】已知,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(0,2),以P為圓心,OP為半徑的半圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)是C,一次函數(shù)y=﹣x+m(m為實(shí)數(shù))的圖象為直線l,l分別交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn),如圖1.

(1)B點(diǎn)坐標(biāo)是 (用含m的代數(shù)式表示),∠ABO= °;

(2)若點(diǎn)N是直線AB與半圓CO的一個(gè)公共點(diǎn)(兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),N為右側(cè)一點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)N作⊙P的切線交x軸于點(diǎn)E,如圖2.

①是否存在這樣的m的值,使得△EBN是直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

②當(dāng)時(shí),求m的值.

【答案】(1),30;(2)m=2或3;(3)m=

【解析】

試題分析:(1)首先求出直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得出答案,再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠ABO的度數(shù);

(2)①分別利用∠NEB=90°和∠ENB=90°,結(jié)合切線的性質(zhì)得出m的值;

②首先求出NG:EN=,再得出△PHN∽△NGE,再利用相似三角形的性質(zhì),進(jìn)而得出m的值.

試題解析:(1)當(dāng)y=0,則0=﹣x+m,

解得:x=m,

故B點(diǎn)坐標(biāo)是(用含m的代數(shù)式表示),

∵一次函數(shù)y=﹣x+m與y軸交于點(diǎn)(0,m),

∴tan∠ABO==,

∴∠ABO=30°;

故答案為:,30;

(2)①如圖①,假設(shè)存在這樣的m的值,使得△EBN是直角三角形.連接NP

若∠NEB=90°,∵NE是⊙P的切線,

∴∠PNE=90°,

∵∠POE=90°,

∴四邊形OPNE是矩形,

∴PN=2,∠APN=90°,

在Rt△APN中,PN=2,∠BAO=60°,

∴PA=1,

∴m=3,

若∠ENB=90°,∵NE是⊙P的切線,

∴∠PNE=90°,

∴點(diǎn)P、N、B三點(diǎn)共線,即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,

∴m=2,

綜上可知,m=2或3;

②如圖②,連接PN,過(guò)點(diǎn)E作,EG⊥AB于G,過(guò)點(diǎn)P作,PH⊥AB于H,

則PA=m﹣2,PH=,

,∴EB=,EN=EO=,EG=,

∴EG:EN=1:4,∴NG:EN=,

∵∠PNE=90°,∴∠PNH+∠ENG=90°,

∵∠GNE+∠NEG=90°,

∴∠NEG=∠PNH,

∵∠PHN=∠EGN=90°,

∴△PHN∽△NGE,

,

解得:m=

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