Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點（1，﹣1），且對稱軸為在線x=2，點P、Q均在拋物線上，點P位于對稱軸右側(cè)，點Q位于對稱軸左側(cè)，PA垂直對稱軸于點A，QB垂直對稱軸于點B，且QB=PA+1，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求點Q的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；

（3）請?zhí)骄縋A+QB=AB是否成立，并說明理由；

（4）拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）經(jīng)過Q、B、P三點，若其對稱軸把四邊形PAQB分成面積為1：5的兩部分，直接寫出此時m的值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點（1，﹣1），且對稱軸為在線x=2，

∴，

解得．

∴這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x²﹣4x+2；

 

（2）∵拋物線上點P的橫坐標(biāo)為m，

∴P（m，m²﹣4m+2），

∴PA=m﹣2，

QB=PA+1=m﹣2+1=m﹣1，

∴點Q的橫坐標(biāo)為2﹣（m﹣1）=3﹣m，

點Q的縱坐標(biāo)為（3﹣m）²﹣4（3﹣m）+2=m²﹣2m﹣1，

∴點Q的坐標(biāo)為（3﹣m，m²﹣2m﹣1）；

 

（3）PA+QB=AB成立．

理由如下：∵P（m，m²﹣4m+2），Q（3﹣m，m²﹣2m﹣1），

∴A（2，m²﹣4m+2），B（2，m²﹣2m﹣1），

∴AB=（m²﹣2m﹣1）﹣（m²﹣4m+2）=2m﹣3，

又∵PA=m﹣2，QB=m﹣1，

∴PA+QB=m﹣2+m﹣1=2m﹣3，

∴PA+QB=AB；

 

（4）∵拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）經(jīng)過Q、B、P三點，

∴拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁的對稱軸為QB的垂直平分線，

∵對稱軸把四邊形PAQB分成面積為1：5的兩部分，

∴××=×（2m﹣3）×（2m﹣3），

整理得，（2m﹣3）（m﹣3）=0，

∵點P位于對稱軸右側(cè)，

∴m＞2，

∴2m﹣3≠0，

∴m﹣3=0，

解得m=3．