Question

如圖，在菱形ABCD中，AC、BD為對(duì)角線，若菱形ABCD滿足AC•BD=AB²，則∠ABC的度數(shù)為（菱形中A、B、C、D四點(diǎn)需自己標(biāo)出）

1. A.
   60°
2. B.
   30°
3. C.
   60°或120°
4. D.
   30°或150°

Answer 1

D
分析：設(shè)菱形的面積為S，根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半可得AC•BD=2S，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，利用正弦表示出AE，然后求出菱形的面積；或過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，用正弦表示出DE，然后求出菱形的面積，從而得到∠ABC或∠BAD的度數(shù)，從而得解．
解答：解：設(shè)菱形的面積為S，則AC•BD=2S，
如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，則AE=ABsin∠ABC，
∴S=BC•AE=AB•ABsin∠ABC=AB²sin∠ABC，
∵AC•BD=AB²，
∴sin∠ABC=，
∴∠ABC=30°，
如圖2，同理可求∠BAD=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
綜上所述，∠ABC的度數(shù)為30°或150°．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，根據(jù)菱形的面積的兩種不同表示方法求出角的正弦是解題的關(guān)鍵．