【題目】如圖,在直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M.
(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點N,使△NAC的面積最大?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣x+4,對稱軸是:直線x=3;(2)P點坐標為(3, ),
理由見解析;(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N(,﹣3),使△NAC面積最大.
【解析】(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-5).
把點A(0,4)代入上式,解得a=.
∴y= (x-1)(x-5)=x2-x+4= (x-3)2-.
∴拋物線的對稱軸是x=3.
(2)存在,P點的坐標是(3, ).如圖1,連接AC交對稱軸于點P,連接BP,AB.
∵點B與點C關(guān)于對稱軸對稱,
∴PB=PC.
∴AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC.
∴此時△PAB的周長最小.
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.把A(0,4),C(5,0)代入y=kx+b,得
解得
∴y=-x+4.
∵點P的橫坐標為3,
∴y=-×3+4=.
∴P(3, ).
(3)在直線AC下方的拋物線上存在點N,使△NAC的面積最大.
如圖2,設(shè)N點的橫坐標為tt,此時點N(t, t2-t+4)(0<t<5).
過點N作y軸的平行線,分別交x軸,AC于點F,G,過點A作AD⊥NG,垂足為D.
由(2)可知直線AC的解析式為y=-x+4.
把x=t代入y=-x+4,得y=-t+4.
∴G(t,- t+4).
∴NG=-t+4-(t2-t+4)=-t2+4t.
∵AD+CF=OC=5,
∴S△NAC=S△ANG+S△CGN=NG·AD+NG·CF=NG·OC
=×(-t2+4t)×5=-2t2+10t=-2(t-)2+.
∵當t=時,△NAC面積的最大值為.
由t=,得y=×()2-×+4=-3.
∴N(,-3).
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【題目】三角形內(nèi)有一點,它到三角形三邊的距離都相等,同時與三角形三個頂點的距離也相等,則這個三角形一定是( )
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等邊三角形 D. 以上都不對
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【題目】下列說法正確的是( )
A. -1的相反數(shù)是1,B. -1的倒數(shù)是1
C. -1的平方根是1,D. -1的立方根是1
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點,且∠AFE=∠B.
(1)求證:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=,AF=,求AE的長.
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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A(﹣2,m),B(4,﹣2)兩點,與軸交于C點,過A作AD⊥軸于D.
(1)求這兩個函數(shù)的解析式;
(2)求△ADC的面積.
(3)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集
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【題目】對下列說法談談你的看法:
(1)小明同學參加學校射擊比賽,能否取得好成績受很多因素的影響.所以在比賽前他的教練說他能獲一等獎是沒有道理的;
(2)天氣預報說明天有雨,于是第二天一定下雨;
(3)班里分了一張參觀根雕藝術(shù)展的門票,為了公平,班長讓每個人來抽簽決定.這樣每個人抽得門票的概率都是50%.
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