【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線y=x+3交x軸于A點(diǎn),交y軸于B點(diǎn),過A、B兩點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于另一點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一點(diǎn),(不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H,交直線AB于點(diǎn)F,作PG⊥AB于點(diǎn)G.求出△PFG的周長最大值;
(3)在拋物線y=﹣x2+bx+c上是否存在除點(diǎn)D以外的點(diǎn)M,使得△ABM與△ABD的面積相等?若存在,請求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵直線AB:y=x+3與坐標(biāo)軸交于A(﹣3,0)、B(0,3),

代入拋物線解析式y(tǒng)=﹣x2+bx+c中

∴拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3


(2)

解:∵由題意可知△PFG是等腰直角三角形,

設(shè)P(m,﹣m2﹣2m+3),

∴F(m,m+3),

∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m,

△PFG周長為:﹣m2﹣3m+ (﹣m2﹣3m),

=﹣( +1)(m+ 2+ ,

∴△PFG周長的最大值為:


(3)

解:點(diǎn)M有三個位置,如圖所示的M1、M2、M3,都能使△ABM的面積等于△ABD的面積.

此時DM1∥AB,M3M2∥AB,且與AB距離相等,

∵D(﹣1,4),

∴E(﹣1,2)、則N(﹣1,0)

∵y=x+3中,k=1,

∴直線DM1解析式為:y=x+5,

直線M3M2解析式為:y=x+1,

∴x+5=﹣x2﹣2x+3或x+1=﹣x2﹣2x+3,

∴x1=﹣1,x2=﹣2,x3= ,x4= ,

∴M1(﹣2,3),M2 ),M3 ).


【解析】(1)將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可;(2)首先根據(jù)△PFG是等腰直角三角形,設(shè)P(m,﹣m2﹣2m+3)得到F(m,m+3),進(jìn)而得到PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m,從而得到△PFG周長為:﹣m2﹣3m+ (﹣m2﹣3m),配方后即可確定其最大值;(3)當(dāng)DM1∥AB,M3M2∥AB,且與AB距離相等時,根據(jù)同底等高可以確定△ABM與△ABD的面積相等,分別求得直線DM1解析式為:y=x+5和直線M3M2解析式為:y=x+1,聯(lián)立之后求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.

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(1)在這項(xiàng)調(diào)查中,共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)請計(jì)算喜歡“立定跳遠(yuǎn)”的學(xué)生人數(shù)和所占百分比,并將兩個統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若調(diào)查到喜歡“跳繩”的4名學(xué)生中有2名男生,2名女生.現(xiàn)從這4名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生.請用畫樹狀圖或列表的方法,求出剛好抽到同性別學(xué)生的概率.

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(2)直接寫出點(diǎn)B1、C1的坐標(biāo):B1      ),C1   ,   );

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