Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點(diǎn)，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于點(diǎn)E．

（1）求證：AC∥OD；

（2）若OE＝4，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC＝8

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出∠OAC＝2∠OAD，由圓周角定理可得出∠BOD＝2∠BAD，進(jìn)而可得出∠BOD＝∠OAC，利用“同位角相等，兩直線平行”即可證出AC∥OD；

（2）作OF⊥AC于點(diǎn)F，由垂徑定理可得出AF＝AC，由AC∥OD可得出∠DOE＝∠OAF，結(jié)合∠DEO＝∠OFA、DO＝OA即可證出△DOE≌△OAF（AAS），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出OE＝AF＝AC，即可得出答案．

（1）證明：∵AD平分∠CAB，

∴∠OAC＝2∠OAD．

∵∠BOD＝2∠BAD，

∴∠BOD＝∠OAC，

∴AC∥OD．

（2）解：作OF⊥AC于點(diǎn)F，如圖所示：

則AF＝AC，

∵AC∥OD，

∴∠DOE＝∠OAF．

在△DOE和△OAF中，

∴△DOE≌△OAF（AAS），

∴OE＝AF＝AC，

∴AC＝2OE＝8．