Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P（0，2）任意作一條與拋物線y=ax²（a＞0）交于兩點(diǎn)的直線，設(shè)交點(diǎn)為A、B，則A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)過點(diǎn)P（0，2）的直線AB的解析式為y=kx+2，由

y=kx+2① y=ax2②

，得ax²-kx-2=0③，再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知x₁，x₂是方程③的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x₁+x₂=

k

a

，x₁•x₂=-

2

a

，進(jìn)而求出y₁•y₂=4．

解答：解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+2．
由

y=kx+2① y=ax2②

，得ax²-kx-2=0 ③．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，
則x₁，x₂是方程③的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
所以x₁+x₂=

k

a

，x₁•x₂=-

2

a

，
所以y₁•y₂=a

x

2 1

•a

x

2 2

=a²•（x₁•x₂）²=a²•（-

2

a

）²=4；

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．