Question

如圖①，△ABC與△DEF為等腰直角三角形，CB與EF重合，AC=DE=8,∠ACB=∠DEF=90°固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊FE與邊CA重合時，旋轉(zhuǎn)終止。設(shè)FE、FD（或它的延長線）分別交AB（或它的延長線）于點(diǎn)P、Q，如圖②
（1）問：始終與△CPB相似的三角形(不添加其他輔助線)有①      及②        
（2）設(shè)BP=，AQ=，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（3）問：當(dāng)為何值時，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

1、（1） △CPQ（2） △ ACQ；2、；3、或8或

解： 1、（1） △CPQ（2） △ ACQ     ……………………………..2分
2、∵△CPB∽△QCA
∴
∴∴…………………………………………………………6分
3、情況一、當(dāng)PB=時，P點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，Q點(diǎn)與B點(diǎn)重合時，CP=PQ
△CPQ為等腰三角形,PB=……………………………………………. 8分
情況二、如圖，當(dāng)∵∠CPB=∠BCP=67.5^O∴PB=BC=8.時 △CPQ為等腰三角形其中CP="CQ"
………………………………..10分
情況三、當(dāng)PB=AB，P與A重合， Q為AB的中點(diǎn)時，△CPQ為等腰三角形其中
PQ=CQ.,PB=……………………………………………………………12分
∴當(dāng)或8或時△CPQ為等腰三角形
此題通過圖形的旋轉(zhuǎn)，考核相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定以及反比例函數(shù)等知識的綜合應(yīng)用