Question

（13分）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=10，BC邊上的高AM=6，D，E分別是邊AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與A，B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形DEFG．

（1）因?yàn)? ，所以△ADE∽△ABC．

（2）如圖1，當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；

（3）設(shè)DE = x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y．

①如圖2，當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出x的取值范圍；

②如圖3，當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出x的取值范圍；

③當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

 

Answer 1

（1）DE∥BC；（2）；（3）①（≤）；②（）；③15．

【解析】

試題分析：（1）有平行于三角形一邊的直線截另兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，可知因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC；

（2）由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得，又由正方形DEFG的各邊都相等，即可求得DE的長(zhǎng)，即正方形DEFG的邊長(zhǎng)；

（3）①由正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部，可得△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，根據(jù)正方形面積的求解方法，易得；②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，由△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得；

③分別求解①與②中的最大值，比較后即可求得y的最大值．

試題解析：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；

（2）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，

∵△ADE∽△ABC，∴，而AN=AM﹣MN=AM﹣DE，∴，

解之得DE=，∴當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為；

（3）①當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，

∵DE=x，∴，此時(shí)x的范圍是≤；

②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，

∵△ADE∽△ABC，∴，而AN=AM﹣MN=AM﹣EP，∴，

解得EP=．所以，即，此時(shí)；

③當(dāng)≤時(shí)，

ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值，

當(dāng)時(shí)，＝，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為15，

∵14.0625＜15，∴△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為15．

考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．二次函數(shù)的最值；3．正方形的性質(zhì)．