如圖1，拋物線y=ax2+bx-1經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E．
（1）請(qǐng)直接寫出拋物線表達(dá)式和直線BC的表達(dá)式．
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
2
3
時(shí)，求證：△OBD∽△ABC．
（3）如圖2，若點(diǎn)P在第四象限內(nèi)，當(dāng)OE=2PE時(shí)，求△POD的面積．
（4）當(dāng)以點(diǎn)O、C、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,相似三角形的判定與性質(zhì)
專題：壓軸題,分類討論
分析：（1）待定系數(shù)法即可求得；
（2）先把P點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線y2=
1
2
x-1，求得DE=
2
3
，從而求得DE=OE，得出∠EOD=45°，因?yàn)椤螼AC=∠EOD=45°，∠OBD=∠ABC，即可求得△OBD∽△ABC；
（3）分三種情況：當(dāng)OD=CD時(shí)，則
5
4
m2-m+1=
5
4
m2，當(dāng)OD=OC時(shí)，則
5
4
m2-m+1=1，當(dāng)OC=CD時(shí)，則
5
4
m2=1，分別求解，即可求得．
解答：解：（1）由拋物線y=ax2+bx-1可知C（0，-1），
∵y=ax2+bx-1經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，
∴
a-b-1=0
4a+2b-1=0
，
解得
a=
1
2
b=-
1
2

∴拋物線表達(dá)式：y1=
1
2
x2-
1
2
x-1；
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則
2k+b=0
b=-1
，
解得
k=
1
2
b=-1
．
∴直線BC的表達(dá)式：y2=
1
2
x-1．

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
2
3
時(shí)，把x=
2
3

代入y2=
1
2
x-1，
得y2=
1
2
×
2
3
-1=-
2
3
，
∴DE=
2
3

又∵OE=
2
3
，
∴DE=OE
∵∠OED=90°
∴∠EOD=45°
又∵OA=OC=1，∠AOC=90°
∴∠OAC=45°
∴∠OAC=∠EOD
又∵∠OBD=∠ABC
△OBD∽△ABC．

（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，
1
2
x2-
1
2
x-1）
∴OE=x，PE=|
1
2
x2-
1
2
x-1|=-
1
2
x2+
1
2
x+1
又∵OE=2PE
∴x=2(-
1
2
x2+
1
2
x+1)
解得x1=
2
，x2=-
2
（不合題意舍去），
∴P、D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(
2
，-
2
2
)，D(
2
，
2
-2
2
)，
∴PD=
2
-2
2
-(-
2
2
)=
2
-1
OE=
2

∴S△POD=
1
2
•PD•OE=
1
2
•(
2
-1)•
2
=
2-
2
2
，

（4）P1（1，-1），P2(
4
5
，-
27
25
)，P3(
2
5
5
，
-3-
5
5
)，P4(-
2
5
5
，
-3+
5
5
)．
設(shè)D（m，
1
2
m-1），
則OD2=m2+（
1
2
m-1）2=
5
4
m2-m+1，
OC2=1，CD2=m2+（-1-
1
2
m+1）2=
5
4
m2，
當(dāng)OD=CD時(shí)，則
5
4
m2-m+1=
5
4
m2，解得m1=1，
當(dāng)OD=OC時(shí)，則
5
4
m2-m+1=1，解得m2=
4
5
，
當(dāng)OC=CD時(shí)，則
5
4
m2=1，解得m3=
2
5
5
，m4=-
2
5
5
，
∴P1（1，-1），P2(
4
5
，-
27
25
)，P3(
2
5
5
，
-3-
5
5
)，P4(-
2
5
5
，
-3+
5
5
)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求解析式、三角形相似的判定以及分類討論的思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算：
（1）（
x2
x-2
+
4
2-x
）÷
x+2
x

（2）
x
50y
（x≥0，y＞0）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果關(guān)于x的方程
x-4
3
-8=-
x+2
2
的解與方程4x-（3a+1）=6x+2a-1的解相同，求字母a的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將一條長(zhǎng)為24cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形．
（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于20cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少？
（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于15cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，等腰梯形ABCD放置在平面坐標(biāo)系中，已知A（-2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）若將等腰梯形ABCD向上平移，使平移后的點(diǎn)B落在雙曲線上，則應(yīng)將梯形向上平移幾個(gè)單位長(zhǎng)度？
（3）畫出反比例函數(shù)在第三象限的草圖，若直線AD交雙曲線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，請(qǐng)求出△EOF的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算：
（1）
81
+
3-27
+(
6
)2；           
（2）
3(-4)3
×
3-3
3
8
+
2
1
4
×
(-4)2
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

小明和妹妹做游戲：在一個(gè)不透明的箱子里放入20張紙條（除所標(biāo)字母外其余相同），其中12張紙條上字母為A，8張紙條上的字母為B，將紙條搖勻后任意摸出一張，如果摸到紙條上的字母為A，則小明勝；如果摸到紙條上的字母為B，則妹妹勝．
（1）這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若妹妹在箱子中再放入3張與前面相同的紙條，所標(biāo)字母為B，此時(shí)這個(gè)游戲?qū)φl(shuí)有利？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（
ab
4c
）2=
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A=35°，∠B=75°，則∠C1的度數(shù)為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案