Question

【題目】如圖，□ABCD中，∠A=60°，點E、F分別在邊AD、DC上，DE=DF，且∠EBF=60°，若AE=2，FC=3，則EF的長度為_________________．

Answer 1

【答案】

【解析】由DE=DF，AE=2，FC=3可知AB-BC=1,過點E作EM⊥AB垂足為M，根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AM＝1，進(jìn)而得出BM=BC，將△BEM順時針旋轉(zhuǎn)120°得△BEN，連接FN，可證△BFE≌△BFN，即可得出EF=FN，過點N作NG⊥DC交DC的延長線于點G，利用勾股定理即可求出答案.

過點E作EM⊥AB垂足為M，

在Rt△AEM中，

∵∠A＝60°，

∴∠AEM＝30°，

∴AM=AE=1,

∴ME=,

∵DE=DF，AE=2，FC=3

∴DC-AD=1,

即AB-BC=1,

∴BM=BC，

將△BEM順時針旋轉(zhuǎn)120°得△BEN，連接FN，則CN=EM=,BE=BN，

∵∠EBF=60°，∠EBN=120°，

∴∠NBF=60°，

∴∠EBF=∠NBF,

∵BE=BN,BF=BF,

∴△BFE≌△BFN，

∴EF=FN，

過點N作NG⊥DC交DC的延長線于點G，

∵∠GCN=180°-60°-90°=30°,

∴NG= NC=，

∴CG= =，

∴FG=3+=，

∴FN==,

∴EF=.

故答案為：.