【題目】已知:如圖1,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,DAB=60°,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),連接AC、EC.點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿折線(xiàn)ADC運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿射線(xiàn)AB運(yùn)動(dòng),P、Q的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度;以PQ為邊在PQ的左側(cè)作等邊PQF,PQF與AEC重疊部分的面積為S,當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.

(1)當(dāng)?shù)冗?/span>PQF的邊PQ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí),求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值;當(dāng)?shù)冗?/span>PQF的邊QF 恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí),求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值;

(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,請(qǐng)求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍;

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí),將等邊PQF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)α°(0<α<360),直線(xiàn)PF分別與直線(xiàn)AC、直線(xiàn)CD交于點(diǎn)M、N.是否存在這樣的α,使CMN為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線(xiàn)段CM的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)9(秒);(2)0<t3時(shí),S=PG×AG=;當(dāng)3<t6時(shí),S=

當(dāng)6<t9時(shí),如圖5,S=;當(dāng)9<t12時(shí),S=;

(3)①α=150°如圖7,CM=2②α=105°,如圖8,CM=12-6;③α=60°,如圖9,CM=6;④α=15°,如圖10,CM=12+6

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)題意求出運(yùn)動(dòng)的距離,再除以速度即可求出時(shí)間;

(2)分當(dāng)0<t3時(shí),當(dāng)3<t6時(shí),當(dāng)6<t9時(shí),當(dāng)9<t12時(shí),四種情況,分別求出重疊部分面積即可;

(3)分交點(diǎn)都在BC左側(cè),頂角為120°,交點(diǎn)都在BC右側(cè)時(shí),頂角可能為30°和120°;交點(diǎn)在BC兩側(cè)時(shí),頂角為150°進(jìn)行討論求解即可.

試題解析:(1)當(dāng)?shù)冗?/span>PQF的邊PQ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí),

如圖1

AQ=AD=6,t=6÷1=6(秒);當(dāng)?shù)冗?/span>PQF的邊QF 恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí),

如圖2

由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,DAB=60°,P、Q的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,

知:APQ=60°,QEB=60°QEAD,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),

此時(shí)點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn),可求:AD+DQ=6+3=9,所以t=9÷1=9(秒);

(2)

如圖3

當(dāng)0<t3時(shí),由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,DAB=60°,可求:PAG=30°,

∵∠APQ=60°,∴∠AGP=90°,由AP=t,可求:PG=t,AG=t,

S=PG×AG=;

當(dāng)3<t6時(shí),

如圖4

AE=3,AP=t,PE=t3,過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn),垂足為H,

由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,DAB=60°,可求:CH=3,BH=3,EH=6,

tanKEB=,過(guò)點(diǎn)K作KMAB,可求KM=

SPEK=,可求QAG=30°,又AQG=60°,AQ=t,

可求AGQ=90°,DG=t,GQ=t,SAGQ=,等邊三角形APD的面積為:

S==,

當(dāng)6<t9時(shí),如圖5

與前同理可求:SFQP=,SGQN=,SKEP=,

S==,

當(dāng)9<t12時(shí),

如圖6

求出:SPQF=,SQGH=;SNEP=;SKEF=,

S=SPQFSQGHSNEP+SKEF=+=;

(3)

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn):

①α=150°,如圖7此時(shí),易求CNM=NCM=APM=MAP=DAP=30°,

可證ACD∽△APM,,

易求AP=12,AC=6,AD=6,解得:AM=4,所以,CM=2

②α=105°,如圖8

此時(shí),易求CM=CN,CMN=CNM=APM=75°AM=AP=12,

在菱形ABCD中,AD=CD=6,D=120°

可求AC=6,所以,CM=12-6;

③α=60°,如圖9

此時(shí),易求CMN=MCN=ACB=30°,BCPM,由AB=BP=6可得,CM=AC=6

所以:CM=6;

④α=15°,如圖10

此時(shí),易求APM=M=15°,AM=AP=12,所以:CM=AM+AC,CM=12+6

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B.8
C.9
D.10

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