Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線y=+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．

(1)、求b,c的值；

(2)、點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)、在（2）的條件下：①求以點(diǎn)E、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)、b=－2；c=－3；(2)、（，）；(3)、；，（

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)題意求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入解析式求出b、c的值；(2)、射線求出直線AB的解析式，設(shè)出點(diǎn)E和F的坐標(biāo)，求出EF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最值；(3)、首先求出點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化成△BEF和△DEF進(jìn)行求解；過點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線與點(diǎn)P，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，解出方程；過F作b⊥EF交拋物線與點(diǎn)P，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，解出方程.

試題解析：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）∵二次函數(shù)y=+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）B(4,5)

∴ 解得：b=-2 c=-3

(2)、如圖：∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0） B(4,5) ∴直線AB的解析式為：y=x+1

∵二次函數(shù)y=－2x－3 ∴設(shè)點(diǎn)E(t，t+1),則F（t，－2t－3）

∴EF=(t+1)－(－2t－3)=

∴當(dāng)時(shí)，EF的最大值= ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）

①如圖：

順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD．

可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）

S=S+S

==

②如圖：ⅰ)過點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(m,)則有：解得:, ∴,

ⅱ）過點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于，設(shè)（n，）則有：

解得： ，（與點(diǎn)F重合，舍去）∴

綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：，（能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．