Question

已知：如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸的正方向上，A（ 0，6 ），D（ 4，6），且AB=2

10

．
（1）求點B的坐標；
（2）求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點P，使得S_△PBC=

1

2

S_梯形ABCD？若存在，請求出該點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）在Rt△ABO中利用勾股定理求出OB的長，繼而可得點B的坐標；
（2）利用待定系數(shù)法確定拋物線即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BC的長度，求出四邊形ABCD的面積，繼而可確定點P的縱坐標的絕對值，也可確定點P的坐標．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，BO=

AB2-OA2

=2，
∴點B的坐標為（-2，0）．

（2）設經(jīng)過A、B、D三點的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

c=6 4a-2b+c=0 16a+4b+c=6

，
解得：

a=- 1 2 b=2 c=6

．
∴經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+2x+6．

（3）由等腰梯形的性質(zhì)可得BC=2BO+AD=8，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×OA=36，
設點P到x軸的距離為|y|，
∵S_△PBC=

1

2

S_梯形ABCD，
∴

1

2

×8×|y|=18，
∴|y|=

9

2

，
當y=-

9

2

時，-

1

2

x²+2x+6=-

9

2

，
解得：x₁=7，x₂=-3，
∴P₁（7，-

9

2

），P₂（-3，-

9

2

）．
當y=

9

2

時，-

1

2

x²+2x+6=

9

2

，
解得：x₁=2+

7

，x₂=2-

7

，
∴P₃（2+

7

，

9

2

），P₄（2-

7

，

9

2

）．
綜上可得：P₁（7，-

9

2

），P₂（-3，-

9

2

），P₃（2+

7

，

9

2

），P₄（2-

7

，

9

2

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形的面積及勾股定理的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握各個基本知識點，靈活解答．