Question

【題目】如圖，在中，于，連接交于點,．

（1）如圖1，求證:；

（2）如圖2，于點，求證:；

（3）如圖3，點在的延長線上，于點交于點，連接,交的延長線于點，連接，當的面積為時， 求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圖見解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對頂角的性質(zhì)得到∠ABE=∠DCE，根據(jù)等邊對等角得到∠BAC=∠ABC，利用角的和差即可得出結(jié)論；

（2）在FB上截取FG=FC，連接EG．證明△EFG≌△EFC，得到EG=EC，∠EGC=∠ECG．再由三角形外角的性質(zhì)得到∠EBG=∠BEG，由等角對等邊得到BG=GE，進而有EC=BG，根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到AE=CG=2FC．

（3）作GN∥AC交AB的延長線于N，延長RA、CD交于點P．證明△GHC≌△CAP(ASA)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GC=CP，CH=AP．通過證明△KGN∽△BCD，得到，從而得到KG=KH，則可以證明△KGN≌△KHA，由全等三角形的性質(zhì)得到AH=GN=GB，根據(jù)線段的和差得到CH=PD，從而得到AP=CH=PD．設(shè)AP=x，AH=y，則CH=PD=x，GN=GB=y，CD=2y．在Rt△APC中，根據(jù)勾股定理求得x=3y，得到AC=x+y=4y，由平行線分線段成比例定理得到，故，由，從而求得y的值．由BC=AC=4y即可得出結(jié)論．

（1）∵∠BAC=∠BDC，∠AEB=∠DEC，

∴∠ABE=∠DCE．

∵AC=BC，

∴∠BAC=∠ABC，

∴2∠ABC+∠BCA=180°，

∴2(∠ABE+∠DBC)+∠BCA=180°．

∵CD⊥CB，

∴∠BCD=90° ，

∴∠BCA+∠DCE=90°，

∴2∠BCA+2∠DCE=180°，

∴2∠BCA+2∠ABE=180°，

∴2∠BCA+2∠ABE=2(∠ABE+∠DBC)+∠BCA，

∴∠BCA=2∠DBC，

∴∠ECB=2∠EBC；

（2）在FB上截取FG=FC，連接EG．

∵EF⊥BC，

∴∠EFG=∠EFC=90°．

在△EFG和△EFC中，∵EF=EF，∠EFG=∠EFC，GF=FC，

∴△EFG≌△EFC，

∴EG=EC，∠EGC=∠ECG．

∵∠ECB=2∠EBC，

∴∠EGC=2∠EBC．

∵∠EBG+∠BEG=∠EGC，

∴∠EBG+∠BEG=2∠EBG，

∴∠EBG=∠BEG，

∴BG=GE，

∴EC=BG．

∵AC=BC，

∴AE=CG=2FC．

（3）如圖，作GN∥AC交AB的延長線于N，延長RA、CD交于點P．

∵GH⊥AC，

∴∠AHG=∠CHG=90°，

∴∠HCG+∠CGH=90°．

∵AR∥GH，

∴∠PAC=∠AHG=90°，

∴∠PAC=∠CHG．

∵CD⊥BC，

∴∠PCA+∠HCG=90°，

∴∠PCA=∠CGH．

在△GHC和△CAP中，

∵∠GHC=∠CAP，GH=CA，∠CGH=∠PCA，

∴△GHC≌△CAP(ASA)．

∴GC=CP，CH=AP．

∵AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB=∠CDB．

∵GN∥AC，

∴∠N=∠CAB，

∴∠N=∠CAB=∠CBA=∠GBN=∠CDB，

∴GN=GB．

∵GH⊥AC，GN∥AC，

∴∠KGN=90°=∠DCB，

∴△KGN∽△BCD，

∴，

∴KG=BC=AC=GH，

∴KG=KH．

∵∠AHK=∠KGN=90°，∠HAK=∠N，KG=KH，

∴△KGN≌△KHA，

∴AH=GN=GB，

∴CH=AC－AH=BC－GB=CG－2GB=CG－CD=PD，

∴AP=CH=PD．

設(shè)AP=x，AH=y，則CH=PD=x，GN=GB=y，CD=2y．

在Rt△APC中，，

解得：x=3y或x= -y(舍去)，

∴AC=x+y=4y．

∵AR∥HK，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴y=或y=(舍去)，

∴BC=AC=4y=6．