Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過點(diǎn)D作DE⊥BC交AB邊于點(diǎn)E，將∠B沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的點(diǎn)F處，當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，BD的長為_____．

Answer 1

【答案】2或4

【解析】

分兩種情況來解：

（1）當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，在Rt△ABC中，根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AB＝，然后由翻折的性質(zhì)可求得∠AEF=60°，從而可求得∠EAF=30°，故此AE=2EF，由翻折的性質(zhì)可知:BE=EF，故此AB=3BE，所以EB=，最后在Rt△BED中利用特殊銳角三角函數(shù)值即可求得BD的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長線上時(shí)，∠EAF=90°，然后依據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到ED=AE，然后再證明△BED∞△BAC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．

解：分兩種情況：

（1）當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，如解圖1所示

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴，即．

∴AB＝

∵∠B＝30°，DE⊥BC，

∴∠BED＝60°．

由翻折的性質(zhì)可知：∠BED＝∠FED＝60°，

∴∠AEF＝60°．

∵△AEF為直角三角形，

∴∠EAF＝30°．

∴AE＝2EF．

由翻折的性質(zhì)可知：BE＝EF，

∴AB＝3BE．

∴EB＝．

在Rt△BED中，∠B＝30°，

∴，即．

∴BD＝2．

（2）當(dāng)∠EAF=90°時(shí),點(diǎn)F在BC的延長線上．如解圖2所示：

∵△AEF為直角三角形，

∴∠EAF＝90°，

∴∠EFA＝30°．

∴∠EFD＝∠EFA．

又∵ED⊥BF，EA⊥AF，

∴AE＝DE．

∵BC＝6，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴AB＝，AC＝

設(shè)DE＝x，BE＝﹣x．

∵DE∥AC，

∴，，解得：x＝．

∴BD＝DE＝×=4

故答案為：2或4．