【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸相交于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=1.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);
(2)聯(lián)結(jié)AC、BC,若△ABC的面積為6,求此拋物線的表達(dá)式;
(3)在第(2)小題的條件下,點(diǎn)Q為x軸正半軸上一點(diǎn),點(diǎn)G與點(diǎn)C,點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱,當(dāng)△CGF為直角三角形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)C(0,﹣3a);(2) y=x2﹣2x﹣3;(3) Q的坐標(biāo)為(4,0)或(9,0)
【解析】試題分析:(1)由A點(diǎn)坐標(biāo)和二次函數(shù)的對(duì)稱性可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),根據(jù)兩點(diǎn)式寫出二次函數(shù)解析式,再令y=0,求出y的值,即可的點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)由A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3a),求出AB、OC的長,然后根據(jù)△ABC的面積為6,列方程求出a的值;
(3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,0).過點(diǎn)G作GH⊥x軸,垂足為點(diǎn)H,如圖,分兩種情況求解:當(dāng)Rt△QGH∽R(shí)t△GFH時(shí),求得m的一個(gè)值;當(dāng)Rt△GFH∽R(shí)t△FCO時(shí),求得m的另一個(gè)值.
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對(duì)稱軸為直線x=1,
而拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0)
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),
即y=ax2﹣2ax﹣3a,
當(dāng)x=0時(shí),y=﹣3a,
∴C(0,﹣3a);
(2)∵A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3a),
∴AB=4,OC=3a,
∴S△ACB=ABOC=6,
∴6a=6,解得a=1,
∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,0).過點(diǎn)G作GH⊥x軸,垂足為點(diǎn)H,如圖,
∵點(diǎn)G與點(diǎn)C,點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱,
∴QC=QG,QA=QF=m+1,QO=QH=m,OC=GH=3,
∴OF=2m+1,HF=1,
當(dāng)∠CGF=90°時(shí),
∵∠QGH+∠FGH=90°,∠QGH+∠GQH=90°,
∴∠GQH=∠HGF,
∴Rt△QGH∽Rt△GFH,
∴=,即=,解得m=9,
∴Q的坐標(biāo)為(9,0);
當(dāng)∠CFG=90°時(shí),
∵∠GFH+∠CFO=90°,∠GFH+∠FGH=90°,
∴∠CFO=∠FGH,
∴Rt△GFH∽Rt△FCO,
∴=,即=,解得m=4,
∴Q的坐標(biāo)為(4,0);
∠GCF=90°不存在,
綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,0)或(9,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)M(n,﹣n )在第二象限,過點(diǎn)M的直線y=kx+b(0<k<1)分別交x軸、y軸于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N,則下列點(diǎn)在線段AN的是( 。
A. ((k﹣1)n,0) B. ((k+)n,0)) C. (,0) D. ((k+1)n,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=9,AB=12,BC=15,P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),PG⊥AC于點(diǎn)G,PH⊥AB于點(diǎn)H.
(1)求證:四邊形AGPH是矩形;
(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,GH的長度是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角內(nèi)部,畫1條射線,可得3個(gè)銳角;畫2條不同射線,可得6個(gè)銳角;畫3條不同射線,可得10個(gè)銳角;…….照此規(guī)律,畫6條不同射線,可得銳角________個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小明的家在某住宅樓AB的最頂層(AB⊥BC),他家的后面有一建筑物CD(CD∥AB),他很想知道這座建筑物的高度,于是在自家陽臺(tái)的A處測(cè)得建筑物CD的底部C的俯角是43°,頂部D的仰角是25°,他又測(cè)得兩建筑物之間的距離BC是28米,請(qǐng)你幫助小明求出建筑物CD的高度(精確到1米).
(參考數(shù)據(jù):sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47;sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0.93.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上有A,B,C三點(diǎn),分別代表﹣30,﹣10,10,兩只電子螞蟻甲,乙分別從A,C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行,甲的速度為4個(gè)單位/秒,乙的速度為6個(gè)單位/秒.
(1)甲,乙經(jīng)過多少秒在數(shù)軸上相遇,并求出相遇點(diǎn)表示的數(shù)?
(2)多少秒后,甲到A,B,C的距離和為48個(gè)單位?
(3)在甲到A、B、C的距離和為48個(gè)單位時(shí),若甲調(diào)頭并保持速度不變,則甲,乙還能在數(shù)軸上相遇嗎?若能,求出相遇點(diǎn);若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E為AC邊的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D,CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G.F為AB邊上一點(diǎn),連接CF,且∠ACF=∠CBG.
(1)求證:BG=CF;
(2)求證:CF=2DE;
(3)若DE=1,求AD的長
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是面積為的平行四邊形,其中.
(1)如圖①,點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn),則的面積和的面積之和與的面積之間的數(shù)量關(guān)系是__________;
(2)如圖②,設(shè)交于點(diǎn),則的面積和的面積之和與的面積之間的數(shù)量關(guān)系是___________;
(3)如圖③,點(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn)時(shí),試猜想的面積和的面積之和與的面積之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(4)如圖④,已知點(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn),的面積為,的面積為,連接,求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖的⊙O中,AB為直徑,OC⊥AB,弦CD與OB交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D、A分別作⊙O的切線交于點(diǎn)G,并與AB延長線交于點(diǎn)E.
(1)求證:∠1=∠2.
(2)已知:OF:OB=1:3,⊙O的半徑為3,求AG的長.
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