Question

【題目】（發(fā)現(xiàn)問題）愛好數(shù)學的小強在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目：如圖①，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，E為BC中點，求AE的取值范圍．

（解決問題）

（1）小強經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，作AB邊上的中點F，連接EF，構造出△ABC的中位線EF，請你完成余下的求解過程．

（靈活運用）

（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝8，CD＝6，E、F分別為BC、AD中點，求EF的取值范圍．

（3）變式：把圖②中的A、D、C變成在一直線上時，如圖③，其它條件不變，則EF的取值范圍為 ．

（遷移拓展）

（4）如圖④，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，E為BC邊的中點，F是AC邊上一點且EF正好平分△ABC的周長，則EF= ．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）1＜EF＜7；（3）；（4）EF＝．

【解析】

（1）依照題意作出圖形，利用△AFE中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，求解AE邊的取值范圍；

（2）連接BD，取BD 中點G，連接FG、EG，由E、F分別為BC、AD中點，可得FG＝AB，EG＝DC，同（1）△GEF中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，求解EF邊的取值范圍；

（3）如圖，連接BD，取BD的中點H，連接HF，HE，由三角形中位線定理可知，，在△DHE中有，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可求得；

（4）在線段CF上取一點M，使得FM=AF，連接BM，取BM的中點N，連接FN，EN，由EF平分三角形ABC周長，可得CM=AB=4，由三角形中位線定理，及∠A=60°，可知NF=NE=2，且∠FNE=120°，作NO⊥EF于O，解△ENF，可得FO=E0=，即可求得EF=．

（1）解：

∵E 為 BC 中點，F為 AB 中點，

∴EF＝AC，

∵AB＝8，AC＝6，

∴AF＝AB＝4，EF＝AC＝3，

在△AEF中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，

∴4－3＜AE＜4＋3，

即，1＜AE＜7；

（2）解：連接BD，取BD 中點G，連接FG、EG，

∵E、F分別為BC、AD中點，

∴FG＝AB，EG＝DC，

∵AB＝8，CD＝6，

∴FG＝4，EG＝3，

在△GEF中，4－3＜EF＜4＋3，

即1＜EF＜7．

（3）如圖，連接BD，取BD的中點H，連接HF，HE，

∵E、F分別為BC、AD中點，

∴，

∴在△DHE中，，

即EF的取值范圍為，

故答案為：；

（4）在線段CF上取一點M，使得FM=AF，連接BM，取BM的中點N，連接FN，EN，

∴F為線段AM的中點，

∵E為BC中點，

∴FN∥AB，且，EN∥AC，且，BE=EC，

∵∠A＝60°，AB＝4，

∴FN=2，∠FNE=120°，

∵EF正好平分△ABC的周長，

∴，

∴，

∴CM=4，

∴NE=2，

∴△FNE為等腰三角形，且∠NFE=∠NEF=30°，

過點N作NO⊥EF于點O，

則FO=OE=，

∴，

故答案為：．