Question

已知：如圖，二次函數(shù)y=a(x+1)²－4的圖象與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點D，點C是二次函數(shù)y=a(x+1)²－4的圖象的頂點，CD=.

（1）求a的值.
（2）點M在二次函數(shù)y=a(x+1)²－4圖象的對稱軸上，
且∠AMC=∠BDO，求點M的坐標(biāo)．
（3）將二次函數(shù)y=a(x+1)²－4的圖象向下平移k（k＞0）個單位，平移后的圖象與直線CD分別交于E、F兩點（點F在點E左側(cè)），設(shè)平移后的二次函數(shù)的圖象的頂點為C₁，與y軸的交點為D₁，是否存在實數(shù)k，使得CF⊥FC₁，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）1
（2）M（-1，6）或（-1，-6）
（3）存在k =2解析:
解：
（1）∵C（-1，-4），CD=，
∴D（0，-3）            ……………………………………….(1分)
∴a=1             
∴
即y = x²+2x - 3                 ……………………………….(2分)
（2）M（-1，6）或（-1，-6）………………………………………….(4分)
（3）存在

由CC₁=DD₁=k，CC₁∥DD₁，
∴四邊形CC₁D₁D為平行四邊形，
∴C₁D₁∥CD，
∴∠D₁ C₁C=∠DCN=45°，
∵CF⊥FC₁，∴∠CC₁F=45°
即△CFC₁為等腰直角三角形，且CC₁=k，
∴F（-k-1，-k-4），         ……………………………….(5分)
由點F在新拋物線y=x²+2x-3- k上，
∴ (-k-1)²+2（-k-1）-3-k =-k-4，   ……………………….(6分)
解得k=2或k=0（舍），
∴k =2．   
當(dāng)k =2時，